Méthode de Ruffini-Horner

La méthode de Ruffini-Horner de recherche d'une valeur approchée de racine d'un polynôme est publiée à quelques années d'intervalle par Paolo Ruffini (1804-1807-1813) et par William George Horner[1] (1819-1845 posthume) mais il semble bien que Horner n'ait pas eu connaissance des travaux de Ruffini. La méthode de Horner est ensuite popularisée par les mathématiciens Auguste De Morgan et John Radford Young (en). Dans leurs premières publications, ces deux auteurs utilisent des méthodes de dérivations pour effectuer le changement de variable X = x₀ + Y. Par la suite, ils présentent des versions ne faisant appel qu'à des techniques algébriques. La méthode de Ruffini-Horner est difficilement exploitable si le polynôme possède deux racines trop proches. Ruffini n'évoque pas ce problème mais Horner propose une procédure spéciale pour ce cas-là[2].

En tant que technique de changement de variable, on retrouve des algorithmes analogues, en Chine, pour l'extraction de racine n-ième, dans les Neuf Chapitres (263 apr. J.-C.)[3] et dans l'œuvre de Al Samaw'al (XII^e siècle)[4]. Mais il semble bien que Sharaf al-Dīn al-Tūsī (XII^e siècle) soit le premier à l'utiliser dans le cas général d'une équation de degré 3[5].

Soit

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{0}}$

un polynôme[6] et x₀ un nombre[7]. Le calcul de P(x₀)

${\displaystyle P(x_{0})=a_{n}x_{0}^{n}+a_{n-1}x_{0}^{n-1}+\ldots +a_{0}}$

laisse à penser qu'il faut calculer chacune des puissances de x₀, multiplier celle-ci par son coefficient a_k puis faire la somme de ce que l'on a trouvé.

Si on calcule les puissances de x₀ en multipliant successivement x₀ par lui-même, le nombre nécessaire de produits est alors de n + (n - 1) + … + 2 + 1 = n(n+1)/2, quantité qui croît comme le carré du degré du polynôme. On peut améliorer la vitesse du calcul de xn
0 par une méthode d'exponentiation rapide, permettant de réduire le temps du calcul de P(x₀) à une quantité qui croît comme n×ln(n). Ou plus efficacement encore, on peut commencer par calculer toutes les puissances de x₀, ce qui nécessite n - 1 multiplications, puis multiplier par les coefficients, ce qui nécessite n nouvelles multiplications : le nombre total de produit est alors 2n - 1. La méthode de Horner consiste à combiner les deux itérations précédentes en une seule en effectuant le calcul comme suit :

${\displaystyle P(x_{0})=((\dots ((a_{n}x_{0}+a_{n-1})x_{0}+a_{n-2})x_{0}+\dots )x_{0}+a_{1})x_{0}+a_{0}}$.

Le nombre de produits est alors réduit à n et l'on peut montrer que ce nombre est minimal : il n'est pas possible d'évaluer une fonction polynomiale en moins de n produits en toute généralité[8].

La méthode consiste donc à multiplier le premier coefficient par x₀ et à lui ajouter le deuxième coefficient. On multiplie alors le nombre obtenu par x₀ et on lui ajoute le troisième coefficient, etc. Elle s'organise très bien à l'aide d'un tableau dans lequel chaque case de la seconde ligne est obtenue en multipliant le coefficient de la case de gauche par x₀ et en lui ajoutant le coefficient de la case du dessus.

Exemple pratique : Calcul de 4X³ - 7X² + 3X - 5 pour X = 2

Outre la réduction du nombre d'opérations, cette méthode peut éviter dans certains cas de manipuler des nombres très grands, et donc peut éviter les dépassements de capacité pour les calculs sur ordinateur. Si l'on prend par exemple le polynôme P(X) = X¹⁰ - 99X⁹, alors avec la méthode « classique », pour évaluer P(100), on doit calculer 100¹⁰ = 10²⁰ auquel on retranche 99×10¹⁸, donnant un résultat erroné sur des logiciels calculant avec 15 chiffres significatifs. Avec la méthode de Ruffini-Horner, on a

${\displaystyle P(100)=(100-99)\times 100^{9}}$

conduisant au résultat correct 100⁹ = 10¹⁸ puisque le calcul de la mantisse n'a utilisé que trois chiffres significatifs.

Cette méthode permet aussi d'effectuer une conversion rapide d'un nombre écrit en base x₀ en écriture en base 10. En effet, si un nombre s'écrit, en base x₀,

${\displaystyle n={\overline {a_{n}a_{n-1}\cdots a_{0}}}}$,

ce nombre vaut

${\displaystyle n=a_{n}x_{0}^{n}+a_{n-1}x_{0}^{n-1}+\cdots +a_{0}}$.

Il s'agit donc de l'évaluation d'un polynôme.

Exemple pratique : écriture en base 10 du nombre hexadécimal DA78

Cette même méthode permet aussi d'obtenir la division d'un polynôme par X - x₀. Soit ${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_{0}}$.

La division euclidienne de P par X - x₀ donne

${\displaystyle P=(X-x_{0})Q+P(x_{0})\,}$

où Q est un polynôme de degré n - 1.

Si on écrit ${\displaystyle Q=q_{n-1}X^{n-1}+q_{n-2}X^{n-2}+...+q_{1}X+q_{0}}$ et si on identifie les coefficients de même degré dans les deux membres, on obtient :

${\displaystyle q_{n-1}=a_{n}\,}$

${\displaystyle q_{k-1}-q_{k}x_{0}=a_{k}\,}$ pour tout k tel que 0 < k < n

Soit encore

${\displaystyle q_{k-1}=q_{k}x_{0}+a_{k}\,}$ pour tout k tel que 0 < k < n

Les n valeurs de la suite q calculées ici sont précisément les n valeurs successives calculées dans le paragraphe précédent pour évaluer P(x₀). La mémorisation de ces valeurs successives donne donc les coefficients du polynôme quotient, la dernière valeur étant celle du reste.

Application pratique : division euclidienne de 4X³ - 7X² + 3X - 5 par X - 2

Il suffit de reprendre le tableau précédemment construit et de lire dans les cases de la seconde ligne les coefficients de Q.

Donc

${\displaystyle 4X^{3}-7X^{2}+3X-5=(X-2)(4X^{2}+X+5)+5\,}$

L'algorithme précédent permet donc d'effectuer la division euclidienne du polynôme P par X - x₀. On peut alors écrire, en posant Y = X - x₀.

${\displaystyle P(X)=YP_{1}(X)+b_{0}\,}$

En utilisant de nouveau l'algorithme pour P₁, P₂, ... P_n, on obtient successivement

${\displaystyle P(X)=Y\left(YP_{2}(X)+b_{1}\right)+b_{0}\,}$

...

${\displaystyle P(X)=Y\left(Y\left(...Y\left(Yb_{n}+b_{n-1}\right)...\right)+b_{1}\right)+b_{0}\,}$

Les nombres b₀, b₂, ... b_n sont donc les coefficients du polynôme Q tel que Q(Y) = P(x₀ + Y)

Illustration pratique : Si P(X) = 4X³ - 7X² + 3X - 5 et que l'on cherche à écrire P(2 + Y), on applique 4 fois la méthode de division euclidienne par X - 2 :

Donc

${\displaystyle P(2+Y)=4Y^{3}+17Y^{2}+23Y+5\,}$

Pour chercher la valeur approchée x d'une racine d'un polynôme P, on cherche un entier x₀ tel que P(x₀) et P(x₀ + 1) soient de signe contraire. On sait alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe une racine entre x₀ et x₀ + 1. On pose alors x = x₀ + y/10. Le nombre x est racine de P(X) si et seulement si le nombre y/10 est racine de P(x₀ + Y) = Q(Y). Ce polynôme Q se détermine grâce à la méthode de Horner. Enfin x est racine de P(X) si et seulement y est racine d'un polynôme R(X) obtenu en multipliant les coefficients b_k de Q par ${\displaystyle 10^{n-k}}$.

Il s'agit alors de chercher une racine de R comprise entre 0 et 10 en utilisant un processus analogue : on cherche un entier x₁ compris entre 0 et 9 tels que R(x₁) et R(x₁ + 1) soient de signe contraire. On sait alors qu'il existe une racine x de P comprise entre x₀ + x₁/10 et x₀ + (x₁ + 1)/10...

On détermine ainsi les décimales successives du développement décimal de x.

Exemple : algorithme de Ruffini-Horner pour l'extraction de la racine cubique de 18.

Il s'agit de trouver un réel x, racine du polynôme P(X) = X³ - 18. On sait immédiatement que P(2) < 0 et P(3) > 0, x est donc compris entre 2 et 3. On pose alors x = 2+ y/10 et on cherche le polynôme Q tel que P(2 + Y) = Q(Y).

Le réel x est racine cubique de 18 si x = 2 + y/10 où y est racine de R(X) = X³ + 60X² + 1200X - 10000. La racine y est comprise entre 6 et 7 (pour éviter de balayer tous les nombres, il suffit de remarquer que 1200y et 10000 doivent être très proches avec 1200y < 10000). On pose alors y = 6 + z/10 et on cherche le polynôme S tel que R(6 + Z) = S(Z).

Le réel y est racine de R si y = 6 + z/10 où z est racine de T(X) = X³ + 780X² + 202800X - 424000. La racine z est comprise entre 2 et 3. Donc y est compris entre 6,2 et 6,3 et x est compris entre 2,62 et 2,63.

Cette propriété apparaît ici en dernière position alors qu'elle est la propriété initiale mise en évidence par Ruffini et Horner. Cependant, comme une démarche purement algébrique est possible, celle-ci, plus simple, a été présentée d'abord. Le même algorithme permet de déterminer aussi la valeur de P^(k)(x₀). En effet, le développement de Taylor de P(x₀ + Y) donne

${\displaystyle P(x_{0}+Y)=P(x_{0})+P'(x_{0})Y+{\frac {P^{(2)}(x_{0})}{2}}Y^{2}+\cdots +{\frac {P^{(k)}(x_{0})}{k!}}Y^{k}+\cdots \,}$

Si on note Q(Y) = P(x₀ + Y), les coefficients b_k de Q, trouvés par la méthode de Ruffini-Horner vérifient l'égalité

${\displaystyle k!b_{k}=P^{(k)}(x_{0})\,}$