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Somme de Riemann

En mathĂ©matiques, et plus prĂ©cisĂ©ment en analyse, les sommes de Riemann sont des sommes finies approchant des intĂ©grales. En pratique, elles permettent de calculer numĂ©riquement des aires sous la courbe de fonctions ou des longueurs d'arcs, ou inversement, de donner une valeur Ă  des suites de sommes. Elles peuvent Ă©galement ĂȘtre utilisĂ©es pour dĂ©finir la notion d'intĂ©gration. Leur nom vient du mathĂ©maticien allemand Bernhard Riemann.

L'idée directrice derriÚre la construction des sommes revient à approcher la courbe par une fonction constante par morceaux, avec des valeurs choisies de sorte à approcher au mieux la fonction originelle, puis à additionner les aires des rectangles ainsi formés, et enfin réduire la largeur de ces rectangles. C'est la mise en application de l'intégrale de Riemann.

DĂ©finition du cas le plus usuel

Avec pas constant.
Avec pas variable.
Calcul d'une mĂȘme intĂ©grale, par la mĂ©thode des points mĂ©dians, sur deux subdivisions : Ă  pas constant et Ă  pas variable. Les deux mĂ©thodes tendent vers la mĂȘme valeur tant que le pas tend vers 0.

Soit une fonction dĂ©finie en tout point du segment [a , b]. On se donne une subdivision marquĂ©e σ = (a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b ; ti ∈ [xi – 1, xi] pour i = 1, 
 , n). La somme de Riemann de f sur [a , b] liĂ©e Ă  σ est dĂ©finie par :

Si le pas de la subdivision σ tend vers zĂ©ro, alors la somme de Riemann gĂ©nĂ©rale converge vers . C'est d'ailleurs la dĂ©finition originale par Riemann de son intĂ©grale[1].

Si, au lieu de demander que les sommes de Riemann convergent vers une limite L lorsque le pas est majorĂ© par un nombre ÎŽ qui tend vers zĂ©ro, on demande que les sommes de Riemann puissent ĂȘtre rendues arbitrairement proches d'une valeur L lorsque xi –xi – 1 ≀ ÎŽ(ti), ti ∈ [xi – 1, xi], avec ÎŽ une fonction strictement positive, on arrive au concept de l'intĂ©grale de Kurzweil-Henstock. C'est une gĂ©nĂ©ralisation qui permet d'intĂ©grer plus de fonctions, mais qui donne la mĂȘme valeur Ă  l'intĂ©grale lorsque la fonction est dĂ©jĂ  intĂ©grable au sens de Riemann.

Cas particuliers

Certains choix de ti sont plus répandus[2] :

  • pour ti = xi – 1 pour tout i, on parle de mĂ©thode des rectangles Ă  gauche
  • pour ti = xi pour tout i, on parle de mĂ©thode des rectangles Ă  droite
  • pour ti = 1/2(xi – 1 + xi) pour tout i, on parle de mĂ©thode du point mĂ©dian
  • pour f(ti) = sup {f(t), ti ∈ [xi – 1, xi]} pour tout i, on parle de somme de Riemann supĂ©rieure ou somme de Darboux supĂ©rieure
  • pour f(ti) = inf {f(t), ti ∈ [xi – 1, xi]} pour tout i, on parle de somme de Riemann infĂ©rieure ou somme de Darboux infĂ©rieure

Ces deux derniers cas constituent la base de l'intégrale de Darboux.

Un cas couramment rencontré est celui d'une subdivision à pas constant : pour un entier n > 0 et une subdivision réguliÚre

la somme de Riemann (la plus communément rencontrée) associée à f est alors :

Ces sommes de Riemann Ă©quidistantes sont celles de la mĂ©thode des rectangles (Ă  droite) pour le calcul des intĂ©grales ; leur intĂ©rĂȘt principal vient du « thĂ©orĂšme Â» suivant, qui est en rĂ©alitĂ© un cas particulier de la dĂ©finition de l'intĂ©grale de Riemann : si f est intĂ©grable au sens de Riemann,

Exemple : la somme de Riemann associĂ©e Ă  la fonction x ↩ √1 – x2 sur une subdivision rĂ©guliĂšre de [0 ; 1] converge vers π/4 :

Du point de vue du calcul numérique il est plus avantageux de considérer les sommes (méthode des trapÚzes) :

qui s'obtiennent en faisant la moyenne des méthodes des rectangles à gauche et à droite.

Applications

Une application des Sommes de Riemann est la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin, permettant notamment d'accélérer le calcul de limite de séries lentement convergentes.

Les sommes Ă  pas variables ont aussi leur utilitĂ© dans les mathĂ©matiques, et ce dĂšs le niveau lycĂ©e, comme le montre la mĂ©thode de Wallis pour faire la quadrature des fonctions puissances f(x) = xα. Soit b > a > 0 et N ≄ 1. Écrivons b = a ωN, et prenons comme subdivision du segment [a , b] celle dĂ©finie par les xk = a ωk. Avec comme points d'Ă©valuations Οk = xk –1, on obtient la somme

Lorsque N → ∞, on a ω → 1 (en effet avec ω = 1 + h, on a b/a ≄ 1 + Nh > 1) et , (facile lorsque α est entier puisque le quotient vaut alors 1 + ω + ω2 + ... + ωα et vrai en gĂ©nĂ©ral). D'oĂč

Le pas de la subdivision est ÎŽ = b – b/ω et il tend vers zĂ©ro puisque comme nous l'avons dĂ©jĂ  indiquĂ© ω → 1 pour N → ∞ (concrĂštement ÎŽ = bh/ω < bh ≀ 1/n b (b/a –1) avec Ă  nouveau ω = 1 + h). On trouve ou retrouve donc

Le cas α = –1 (quadrature de l'hyperbole), Ă©tait exclu dans le calcul ci-dessus et en effet il est particulier. On doit reprendre le calcul de SN qui vaut maintenant SN = N(ω – 1). On obtient la relation suivante :

Une relation bien connue qui s'insÚre dans la théorie générale des fonctions logarithme et exponentielle et de leurs rapports avec les fonctions puissances. Si ces fonctions et leurs propriétés sont connues, on peut en effet retrouver la limite ci-dessus en écrivant

et en rappelant que car cela revient à calculer la dérivée au point t = 0 de la fonction .

Animations

  • Somme Ă  gauche.
    Somme Ă  gauche.
  • Somme Ă  droite.
    Somme Ă  droite.
  • Somme au milieu.
    Somme au milieu.
  • Avec 
        y
        =
          x
            2
    {\displaystyle y=x^{2}}
.
    Avec .

Définitions pour les dimensions supérieures

L'idĂ©e gĂ©nĂ©rale de l'intĂ©grale de Riemann est de dĂ©couper le domaine d'intĂ©gration en sous-domaines, dĂ©finir une mesure de chaque sous-domaine et la pondĂ©rer par une valeur de la fonction Ă  intĂ©grer en un point Ă  l'intĂ©rieur du sous-domaine, et de sommer toutes ces valeurs. On voit ainsi que cette idĂ©e peut ĂȘtre gĂ©nĂ©ralisĂ©e simplement aux cas d'intĂ©grales multi-dimensionnelles ou avec une mesure autre que la mesure (usuelle) de Lebesgue.

Dimension supérieure à 2

Le domaine Ω de dimension n est dĂ©coupĂ© en un nombre fini de cellules {Ω1, Ω2, ..., Ωp }, de volumes respectifs {ΔΩ1, ΔΩ2, ..., ΔΩp} disjoints deux Ă  deux, dont la rĂ©union vaut Ω.

Une somme de Riemann d'une fonction f à valeur réelles définie sur Ω s'écrit alors :

avec tk, un point quelconque de Ωk.

Les volumes correspondent ainsi aux longueurs des intervalles en dimension 1, aux surfaces des cellules en dimensions 2, aux volumes des cellules en dimensions 3, etc.

Pour une mesure différente

Formellement, on peut utiliser une autre mesure que le volume. On introduit ainsi une mesure positive ÎŒ. La somme de Riemann s'Ă©crit alors :

Notes et références

  1. « Notes d'un cours »reproduisant le texte de Riemann.
  2. Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions]

Articles connexes

Liens externes

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