Relation de Chasles

La relation de Chasles permet de calculer la somme de deux vecteurs dans un espace affine, quand l'extrémité du premier est choisie égale à l'origine du second. Elle s'énonce de la manière suivante.

Pour tous points A, B et C d'un espace affine, on a :

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}.}$

Cette identité signifie que la translation du point A vers le point C peut être réalisée en passant par un point quelconque B. La translation de vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$ est ainsi la composée de deux translations : celle de vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ et celle de vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}.}$

On retrouve aussi cette propriété pour décrire une relation entre des angles orientés en géométrie plane.

Pour tous vecteurs ${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}}$ non nuls, on a :

${\displaystyle ({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})+({\widehat {{\vec {v}},{\vec {w}}}})=({\widehat {{\vec {u}},{\vec {w}}}}).}$

On trouve aussi cette propriété pour exprimer des mesures algébriques sur une droite orientée.

Pour tous points A, B et C d'une droite orientée, on a :

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}={\overline {AC}}.}$

Il existe aussi une relation de Chasles en calcul intégral.

Si f est une fonction intégrable sur un intervalle I, alors pour tous a, b et c dans I, on a :

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\mathrm {d} x}+\int _{b}^{c}{f(x)\mathrm {d} x}=\int _{a}^{c}{f(x)\mathrm {d} x}.}$

Dans le cas de sommes, on dispose d'une relation analogue au cas de l'intégration, à ceci près que la deuxième somme débute au rang suivant la fin de la première (et non pas au même rang).

Plus formellement, pour tous entiers naturels m, n et p tels que m ≤ n < p, on a :

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}{x_{k}}+\sum _{k=n+1}^{p}{x_{k}}=\sum _{k=m}^{p}{x_{k}}.}$

Par extension, il existe également une relation de Chasles multiplicative (et non pas additive comme l'originale) pour le rapport anharmonique de nombres complexes.

Si l'on note (a, b ; c, d) le rapport anharmonique des quatre nombres complexes a, b, c et d, alors pour tous nombres complexes a, b, c, d et e deux à deux distincts, on a :

${\displaystyle (a,b~;~c,d)\times (a,b~;~d,e)=(a,b~;~c,e).}$

• Katsumi Nomizu et Takeshi Sasaki, Affine Differential Geometry, vol. 111, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics », 2008, 280 p. (ISBN 978-0-521-06439-2, présentation en ligne).