Intégrale de Kurzweil-Henstock

• Soit [a, b] un segment réel. On appelle subdivision marquée (ou pointée) de [a, b] tout couple de familles finies de points (x₀, x₁, … , x_n) et (t₁, t₂, … , t_n) telles que${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b\quad {\mbox{et}}\quad \forall i\in \{1,\dots ,n\},~x_{i-1}\leqslant t_{i}\leqslant x_{i}.}$On dit que t_i marque (ou pointe) le segment [x_i–1, x_i].
• Si δ est une fonction définie sur [a, b] à valeurs strictement positives, on dit que δ est une jauge (sur [a, b]), et la subdivision est dite δ-fine si[5] - [6]

${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},~x_{i}-x_{i-1}\leqslant \delta (t_{i}).}$

Un théorème important, le lemme de Cousin, est fréquemment utilisé dans la théorie de la KH-intégration ; il affirme que, quelle que soit la jauge choisie, il existe des subdivisions marquées plus fines que cette jauge.

• Une fonction f bornée ou non sur un segment [a, b], à valeurs réelles ou complexes, est intégrable au sens de Kurzweil-Henstock (ou KH-intégrable), d'intégrale A, si[7] : pour tout ε > 0, il existe une jauge δ telle que, pour toute subdivision marquée ((x_i), (t_i)) δ-fine, on a :
  ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})f(t_{i})-A\right|\leqslant \varepsilon }$. Le nombre A est alors unique et s'appelle l'intégrale de f sur [a, b]. On la note alors ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\mathrm {d} t.}$
• La quantité ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})f(t_{i})}$ s'appelle somme de Riemann de f relativement à la subdivision marquée choisie.

On remarque que si l'on prend des jauges δ constantes, on retrouve la définition de l'intégrale de Riemann. La KH-intégrale consiste à remplacer ces jauges constantes par des jauges variables.

• Dans le cas où f est définie sur un intervalle I qui n'est pas un segment, on dit que f est KH-intégrable d'intégrale A, si[8], pour tout ε > 0, il existe une jauge δ sur I et un segment [a, b] inclus dans I tels que, pour toute subdivision marquée ((x_i), (t_i)) δ-fine d'un segment inclus dans I et contenant [a, b], on a :
  ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})f(t_{i})-A\right|\leqslant \varepsilon .}$

• L'ensemble des fonctions KH-intégrables forme un espace vectoriel ordonné et l'intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace.
• Sur un segment, toute fonction Riemann-intégrable est KH-intégrable (et de même intégrale)[9].
• La notion d'intégrale impropre est inutile avec la KH-intégrale. En effet, d'après le théorème de Hake[10] - [11] :Une fonction f définie sur un intervalle I = (a, b) (non nécessairement borné, et ne contenant pas nécessairement a ni b) est KH-intégrable sur I si et seulement si elle l'est sur tout segment [c, d] inclus dans ]a, b[ et si la limite ${\displaystyle \lim _{c\to a^{+},d\to b^{-}}\int _{c}^{d}f(t)\,\mathrm {d} t}$ existe et est finie. Son intégrale sur I est alors égale à cette limite.On en déduit par exemple (à l'aide du point précédent) :
  • sur le segment [0, 1], la fonction x ↦ 1/√x si x ≠ 0 et 0 ↦ 0 (non Riemann-intégrable car non bornée) est KH-intégrable ;
  • sur ]0, +∞[, la fonction x ↦ sin x/x est KH-intégrable (d'intégrale π/2 : il s'agit de l'intégrale de Dirichlet) et sa valeur absolue ne l'est pas.
• Le second théorème fondamental de l'analyse s'exprime comme suit[12] :Si F est une primitive généralisée[13] de f sur [a, b], alors f est KH-intégrable et ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=F(b)-F(a).}$
• Le premier théorème fondamental de l'analyse s'exprime comme suit[14] :Si f est KH-intégrable sur [a, b], alors la fonction ${\displaystyle F:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ est continue et admet presque partout une dérivée égale à f.Il en résulte que f est Lebesgue-mesurable[15], comme limite presque partout de la suite de fonctions continues x ↦ n(F(x + 1/n) – F(x))[16].
• Une fonction f est Lebesgue-intégrable si et seulement si f et | f | sont KH-intégrables, et les deux intégrales de f (au sens de Lebesgue et au sens de Kurzweil-Henstock) sont alors égales[17]. En particulier, pour les fonctions positives, la Lebesgue-intégrabilité et la KH-intégrabilité sont équivalentes. Une partie de ℝ est donc Lebesgue-mesurable et de mesure de Lebesgue finie si et seulement si sa fonction caractéristique est KH-intégrable. Par exemple :
  • la fonction de Dirichlet (valant 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels, et qui n'est pas localement Riemann-intégrable) est Lebesgue-intégrable et donc KH-intégrable (d'intégrale nulle).
  • si V est une partie non mesurable de [0, 1], sa fonction caractéristique 1_V, positive et non Lebesgue-mesurable, n'est pas KH-intégrable (donc 1_V – 1_{[0, 1]\V} = 21_V – 1_{[0, 1]} non plus).
• Le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée sont vrais avec la KH-intégrale. Ce dernier se déduit d'un théorème de convergence encadrée, plus fort car il permet de traiter le cas de fonctions dont la valeur absolue n'est pas intégrable[18].