Intégrale de Dirichlet

L'intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs

\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,{\textrm {d}}x={\frac {\pi }{2}}

Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire que la fonction n'est pas intégrable au sens généralisé de Riemann, mais $\lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x$ existe et est finie.

Étude de la convergence

On considère la fonction

{\begin{matrix}f\colon &\mathbb {R} _{+}^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\frac {\sin x}{x}}.\end{matrix}}

En 0, sa limite à droite vaut 1, donc $f$ est prolongeable en une application continue sur $[0, +\infty[$ , si bien qu'elle est intégrable sur $[0, a]$ pour tout $a > 0$ .
Mais elle n'est pas intégrable en $+\infty$ , c'est-à-dire que

\lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}|f(x)|~{\rm {d}}x=+\infty

[1].

Cependant,

\lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}f(x)~{\rm {d}}x\quad {\rm {existe~:}}

Dirichlet[2], dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier, mentionne en passant une preuve fondée sur le critère de convergence des séries alternées[3] :
« On sait que $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \gamma }{\gamma }}~{\rm {d}}\gamma$ a une valeur finie et égale à $π/2$ . Cette intégrale peut être partagée en une infinité d'autres, prises la première depuis $γ = 0$ jusqu'à $γ = π$ , la seconde depuis $γ = π$ jusqu'à $γ = 2π$ , et ainsi de suite. Ces nouvelles intégrales sont alternativement positives et négatives, chacune d'elles a une valeur numérique inférieure à celle de la précédente […]. » ;
dans le même esprit, la règle d'Abel pour les intégrales — ou une simple intégration par parties — fournit une preuve de convergence[4] - [5] ;
les méthodes ci-dessous de calcul de l'intégrale fournissent encore d'autres preuves de son existence.

Calcul de l'intégrale

Avec des suites

La méthode consiste à poser

J_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)x{\big )}}{\sin x}}~{\rm {d}}x,\quad K_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin {\big (}(2n+1)x{\big )}}{x}}~{\rm {d}}x

et à montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0, que la première est constante, égale à $π/2$ , et que la deuxième tend vers l'intégrale de Dirichlet[3] - [6].

Avec le théorème des résidus

En remarquant que $x \mapsto (sin x)/ x$ est la partie imaginaire de $x \mapsto e i x / x$ et en considérant la fonction complexe $F : z \mapsto e i z / z$ , le théorème des résidus appliqué aux intégrales du quatrième type, permettant de calculer une valeur principale de Cauchy — ou plus simplement ici : le théorème intégral de Cauchy —, donne le résultat voulu.

Plus précisément, $F$ admet un unique pôle, en 0. Considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε >0, on choisit les demi-cercles ${\mathcal {C}}_{R}$ et ${\mathcal {C}}_{\varepsilon }$ de centre O, de rayons R et ε, situés dans le demi-plan supérieur et on les relie par deux segments $I$ et $J$ . Cette courbe délimite un domaine borné du plan ne contenant pas l'origine.

Contour pour l'intégrale de Dirichlet.

Le théorème de Cauchy donne alors

0=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{U\cup J}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{{\mathcal {C}}_{\varepsilon }}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z+2{\rm {i}}\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x+\int _{{\mathcal {C}}_{\varepsilon }}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z

d'où, en faisant tendre R vers $+\infty$ et ε vers 0 :

0=0+2{\rm {i}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x-{\rm {i}}\pi ,

ce qui permet de conclure :

\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.

Détails des limites des intégrales sur les deux demi-cercles

Le demi-cercle ${\mathcal {C}}_{R}$ se paramètre par $θ \mapsto R e iθ$ , pour $θ$ variant de 0 à $π$ . Or $\forall \theta \in ]0,\pi [,\quad |\exp({\rm {i}}R{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })|=|\exp(-R\sin \theta +{\rm {i}}R\cos \theta )|=\exp(-R\sin \theta )\quad {\xrightarrow[{R\to +\infty }]{}}\quad 0.$

En appliquant par exemple le théorème de convergence dominée, il vient alors $\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z={\rm {i}}\int _{0}^{\pi }\exp({\rm {i}}R{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })~{\rm {d}}\theta \ \ {\xrightarrow[{R\to +\infty }]{}}\ {\rm {i}}\int _{0}^{\pi }0~{\rm {d}}\theta =0.$

De même, le demi-cercle ${\mathcal {C}}_{\varepsilon }$ se paramètre par $θ \mapsto εe iθ$ , pour $θ$ variant de $π$ à 0. On a alors $\int _{{\mathcal {C}}_{\varepsilon }}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z={\rm {i}}\int _{\pi }^{0}\exp({\rm {i}}\varepsilon {\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })~{\rm {d}}\theta \ \ {\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}\ {\rm {i}}\int _{\pi }^{0}\exp(0)~{\rm {d}}\theta =-{\rm {i}}\pi .$

On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction $z \mapsto (e i z - 1)/ z$ qui se prolonge en une fonction entière. On intègre alors sur le contour constitué du demi-cercle ${\mathcal {C}}_{R}$ et de l'intervalle [–R, R]. Par le théorème intégral de Cauchy,

0=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}-1}{z}}~{\rm {d}}z+\int _{-R}^{R}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-1}{x}}~{\rm {d}}x=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z-\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {d}}z}{z}}+2{\rm {i}}\int _{0}^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x=\int _{{\mathcal {C}}_{R}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}}{z}}~{\rm {d}}z-{\rm {i}}\pi +2{\rm {i}}\int _{0}^{R}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x

d'où, en faisant tendre R vers $+\infty$ :

0=0-{\rm {i}}\pi +2{\rm {i}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x

et l'on conclut comme précédemment.

Avec une transformée de Laplace

On utilise la formule suivante des transformée de Laplace : si ${\mathcal {L}}(f)=F$ , alors ${\mathcal {L}}\left[{\frac {f(x)}{x}}\right]=\int _{p}^{+\infty }F(u)\mathrm {d} u$ .

Ainsi, en utilisant $f=\sin$ , d'où $F(p)={\frac {1}{p^{2}+1}}$ .

En revenant à la définition de la transformation de Laplace, la propriété admise donne alors

\int _{0}^{+\infty }\operatorname {e} ^{-px}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\int _{p}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}=\left[\arctan u\right]_{p}^{+\infty }={\frac {\pi }{2}}-\arctan p

En passant à la limite[7] quand $p\to 0$ , on obtient $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$ .

Avec la « technique de Feynman »

On considère l'intégrale paramétrique $I(y)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x$ ; on remarque déjà que l'intégrale de Dirichlet correspond à $I (0)$ .

Cette fonction est dérivable et la dérivée vaut :

{\begin{aligned}I'(y)&=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\sin x}{x}}\mathrm {e} ^{-xy}\right)\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}(-x)\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x=-\int _{0}^{+\infty }\sin(x)\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x\\&=-\Im m\left(\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\mathrm {e} ^{-xy}\mathrm {d} x\right)=-\Im m\left(\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\mathrm {d} x\right)\\&=-\Im m\left[{\frac {1}{\mathrm {i} -y}}\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\right]_{x=0}^{+\infty }=\Im m\left[{\frac {\mathrm {i} +y}{1+y^{2}}}\mathrm {e} ^{(\mathrm {i} -y)x}\right]_{x=0}^{+\infty }=-{\frac {1}{1+y^{2}}}.\end{aligned}}

Ainsi, $I(y)=-\arctan(y)+c$ , et faire tendre $y$ vers l'infini permet d'établir que $c = π /2$ . On en déduit que $I (0) = π /2$ .

Notes et références

Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
Mr. Lejeune-Dirichlet, « Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données », J. reine angew. Math., vol. 4,‎ 1829, p. 157-169 (p. 161) (arXiv 0806.1294).
Comme $f$ est nulle à l'infini, pour étudier la limite éventuelle de son intégrale de 0 à a quand a → $+\infty$ , il suffit de le faire pour a parcourant les valeurs d'une suite arithmétique arbitraire.
S. Balac et F. Sturm, Algèbre et analyse : cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés, PPUR, 2003 (lire en ligne), p. 940.
Pour cette preuve et une variante, voir le devoir corrigé « Intégrale de Dirichlet » sur Wikiversité.
Voir le devoir corrigé « Intégrale de Dirichlet » sur Wikiversité.
Ce passage à la limite est justifié comme suit dans les p. 6-7 de (en) J. Michael Steele, « A scholium on the integral of $\sin(x)/x$ and related topics », sur Wharton School, UPenn, septembre 2014 : d'après la deuxième formule de la moyenne, $\left|\int _{a}^{+\infty }{\frac {\operatorname {e} ^{-px}}{x}}\sin x\,\mathrm {d} x\right|\leq 2{\frac {\operatorname {e} ^{-pa}}{a}}$ .

Voir aussi

Bibliographie

Nino Boccara, Fonctions analytiques [détail de l’édition]
(de) Hans Fischer, « Die Geschichte des Integrals $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx$ : eine Geschichte der Analysis in der Nussschale », Math. Semesterber., vol. 54, n^o 1,‎ 2007, p. 13-30

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