Intégrale impropre

Soit ${\displaystyle f:[a,b[\to \mathbb {R} }$ (où a est réel mais b peut être infini) une fonction continue ou, plus généralement, localement intégrable, c'est-à-dire intégrable sur tout compact de [a, b[. Si la limite

${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur [a, b[.

De la même manière, soit ${\displaystyle f:{]a,b]}\to \mathbb {R} }$ une fonction localement intégrable. Si la limite

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}\int _{x}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}$

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur ]a, b].

Dans les deux cas, on peut noter cette limite

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}$, et l'on précise éventuellement si l'intégrale est impropre pour la borne a ou pour la borne b.

Si la limite existe et est finie, on dit que ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,{\rm {d}}t}$ converge ; sinon, on dit qu'elle diverge.

Remarques

• On peut généraliser facilement la définition à des fonctions qui sont définies seulement sur ]a, b[ (et localement intégrables). On dit alors que${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}$converge lorsque pour un ${\displaystyle c\in {]a,b[}}$ arbitraire, les intégrales${\displaystyle \int _{a}^{c}f(t)\,\mathrm {d} t{\text{ et }}\int _{c}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}$convergent. D'après la relation de Chasles pour les intégrales, cette définition ne dépend pas du choix de c.
• Il existe une notation qui permet d'expliciter le caractère impropre de l'intégrale :${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$peut s'écrire${\displaystyle \int _{a}^{\to b}f(t)\,\mathrm {d} t.}$
• Si f est en fait intégrable sur le segment [a, b], on obtient par ces définitions la même valeur que si l'on calculait l'intégrale définie de f.

Soit I = (a, b) un intervalle réel et ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ une fonction localement intégrable. On dit que f est intégrable sur I si

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t}$

converge. On dit alors que l'intégrale de f sur I converge absolument.

Toute intégrale absolument convergente est convergente (cf. § « Majoration » ci-dessous). La réciproque est fausse. Une intégrale qui converge non absolument est dite semi-convergente.

Si f (localement intégrable sur [a, b[) est positive, alors, d'après le théorème de convergence monotone, son intégrale (impropre en b) converge si et seulement s'il existe un réel M tel que

${\displaystyle \forall x\in [a,b[\quad \int _{a}^{x}f(t)~\mathrm {d} t\leq M,}$

et l'intégrale de f est alors la borne supérieure de toutes ces intégrales.

On peut parfois montrer qu'une intégrale impropre converge, c'est-à-dire que la limite qui intervient dans la définition ci-dessus existe et est finie, en calculant explicitement cette limite après avoir effectué un calcul de primitive.

Exemple

L'intégrale ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\rm {e}}^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}$ converge si et seulement si le réel λ est strictement positif[1].

D'après le critère de Cauchy pour une fonction, une intégrale impropre en b

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}$

converge si et seulement si : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists c\in [a,b[\quad \forall x,y\in [c,b[\quad \left|\int _{x}^{y}f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \varepsilon .}$

D'après le critère de Cauchy ci-dessus, pour qu'une intégrale impropre

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}$

converge, il suffit qu'il existe une fonction g ≥ | f | dont l'intégrale

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t}$

converge.

On considère deux intégrales impropres en b,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t{\text{ et }}\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Si, quand t → b, ${\displaystyle f(t)=O(g(t))}$ (en particulier si ${\displaystyle f(t)=o(g(t))}$) et g est de signe constant, alors : si l'intégrale

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t}$

est convergente, l'intégrale

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}$

l'est aussi[2] (d'après le § « Majoration »).

Remarque

La condition « de signe constant » est indispensable. Par exemple :

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin t}{\sqrt {t}}}\,\mathrm {d} t}$

converge, mais

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin t|}{t}}\,\mathrm {d} t}$

diverge, bien qu'en +∞,

${\displaystyle {\frac {|\sin t|}{t}}=o\left({\frac {\sin t}{\sqrt {t}}}\right).}$

Avec les mêmes notations qu'au paragraphe précédent, si f et g sont équivalentes au point b et de signe constant, alors leurs intégrales sont de même nature puisque f = O(g) et g = O(f).

Exemple

Puisque sin(s) – s est équivalent en 0⁺ à –s³/6 < 0,${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }t^{\lambda }\left(\sin \left({\tfrac {1}{t}}\right)-{\tfrac {1}{t}}\right)\,\mathrm {d} t}$converge si et seulement si λ < 2.

Remarque

La condition « de signe constant » est, là encore, indispensable (de même que dans le critère analogue pour les séries). Par exemple,

${\displaystyle {\frac {\sin t}{\sqrt {t}}}+{\frac {|\sin t|}{t}}{\text{ et }}{\frac {\sin t}{\sqrt {t}}}}$

sont équivalentes en +∞ mais leurs intégrales ne sont pas de même nature, d'après la remarque du § précédent.

Une conséquence du critère de Cauchy ci-dessus est le théorème suivant (pour g localement intégrable sur [a, b[) :

Si f est décroissante et de limite nulle en b et si la fonction ${\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}g}$ est bornée, alors l'intégrale de fg sur [a, b[ converge[3].

Exemple

Pour tout réel λ > 0, l'intégrale ${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{t^{\lambda }}}~\mathrm {d} t}$ converge.

L'intégration par parties est une technique, parmi d'autres, permettant de calculer une intégrale définie. Pour les intégrales impropres, cette technique peut être également utilisée. Mais il faut faire attention à la définition des « objets obtenus ». Si

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,\mathrm {d} t}$

existe, ce n'est pas forcément le cas pour

${\displaystyle \left[f(t)g(t)\right]_{a}^{b}}$ ou pour ${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Donc si l'on cherche à calculer par exemple l'intégrale

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,\mathrm {d} t}$

impropre en b, on peut écrire :

${\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)g'(t)\,\mathrm {d} t=\left[f(t)g(t)\right]_{a}^{x}-\int _{a}^{x}f'(t)g(t)\,\mathrm {d} t}$

avec a ≤ x < b puis on effectue un passage à la limite en faisant x → b. On observe alors que si les termes

${\displaystyle \left[f(t)g(t)\right]_{a}^{\to b}}$ et ${\displaystyle \int _{a}^{\to b}f'(t)g(t)\,\mathrm {d} t}$

sont définis, l'intégration par parties est possible.

Exemple[4]

Pour tout complexe λ de partie réelle strictement positive, l'intégrale

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{t^{\lambda }}}~\mathrm {d} t}$

est égale à

${\displaystyle \left[{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{\mathrm {i} t^{\lambda }}}\right]_{1}^{+\infty }+\lambda \int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{\mathrm {i} t^{\lambda +1}}}~\mathrm {d} t=0-{\frac {\exp(\mathrm {i} )}{\mathrm {i} }}+\lambda \int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{\mathrm {i} t^{\lambda +1}}}~\mathrm {d} t}$,

ce qui prouve qu'elle converge.

La linéarité des intégrales impropres est possible mais requiert la même condition que pour l'intégration par parties : les « objets obtenus » doivent être définis. Ainsi on peut écrire

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }\left({\frac {1}{t^{2}}}-{\rm {e}}^{-t}\right)\,\mathrm {d} t=\int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t-\int _{1}^{+\infty }{\rm {e}}^{-t}\,\mathrm {d} t}$

car les intégrales

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t{\text{ et }}\int _{1}^{+\infty }{\rm {e}}^{-t}\,\mathrm {d} t}$

sont convergentes.

Mais par contre, l'intégrale

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }\left(\sin \left({\tfrac {1}{t}}\right)-{\tfrac {1}{t}}\right)\,\mathrm {d} t}$

(convergente) ne peut être scindée car les intégrales

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }\sin \left({\frac {1}{t}}\right)\,\mathrm {d} t{\text{ et }}\int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t}$

sont divergentes.

Pour tout x > 0, l'intégrale

${\displaystyle \int _{x}^{+\infty }{\frac {1}{t^{a}}}\,\mathrm {d} t}$

converge si et seulement si a > 1. Dans ce cas : ${\displaystyle \int _{x}^{+\infty }{\frac {1}{t^{a}}}\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1-a}}{a-1}}}$.

Pour x > 0, l'intégrale

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{s^{c}}}\,\mathrm {d} s}$

(impropre en 0 si c > 0) converge si et seulement si c < 1[5]. Dans ce cas : ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{s^{c}}}\,\mathrm {d} s={\frac {x^{1-c}}{1-c}}}$.

Plus généralement :

• l'intégrale${\displaystyle \int _{\rm {e}}^{+\infty }{\frac {1}{t^{\alpha }\ln ^{\beta }t}}\,\mathrm {d} t}$converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
• l'intégrale${\displaystyle \int _{0}^{1/{\rm {e}}}{\frac {1}{s^{\gamma }|\ln(s)|^{\beta }}}\,\mathrm {d} s}$converge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1)[6].

L'intégrale

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t}$

est semi-convergente et vaut ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.