Comparaison série-intégrale

Soit f telle que u_n = f(n). Si f est décroissante sur l'intervalle ${\displaystyle [0,+\infty [}$, alors on peut encadrer

${\displaystyle \forall t\in [n,n+1],\qquad f(n+1)\leq f(t)\leq f(n)}$

puis ${\displaystyle \qquad f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(t)\,\mathrm {d} t\leq f(n),}$ encadrement que l'on peut renverser en un encadrement de u_n

${\textstyle \forall n>0,\qquad \int _{n}^{n+1}f(t)\,\mathrm {d} t\leq u_{n}\leq \int _{n-1}^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.}$

On peut sommer ces encadrements de façon à obtenir

• un encadrement de la suite des sommes partielles (attention au premier terme)

${\displaystyle \int _{0}^{N+1}f(t)\,\mathrm {d} t\leq \sum _{n=0}^{N}u_{n}\leq u_{0}+\int _{0}^{N}f(t)\,\mathrm {d} t.}$

Cet encadrement peut donner la limite ou un équivalent pour la suite des sommes partielles.

• Théorème de comparaison ou critère intégral de Cauchy :

Si f est monotone sur l'intervalle ${\displaystyle [N,+\infty [}$, alors la série ${\displaystyle \sum f(n)}$ et l'intégrale ${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$ sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.

Si f est positive et décroissante sur l'intervalle ${\displaystyle [N,+\infty [}$, on a, en cas de convergence, un encadrement de la suite des restes

${\displaystyle \int _{N+1}^{+\infty }f(t)\,\mathrm {d} t\leq \sum _{n=N+1}^{+\infty }u_{n}\leq \int _{N}^{+\infty }f(t)\,\mathrm {d} t.}$

De nouveau, cela peut donner un équivalent pour la suite des restes.

Les encadrements précédents permettent d'obtenir mieux qu'un simple équivalent : une relation asymptotique. On peut citer la célèbre formule d'Euler (qui concerne la série harmonique) à titre d'exemple :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\ln N+\gamma +o(1)}$.

Ce qui suit explique comment l'obtenir, et généraliser l'étude à d'autres séries.

On se replace dans les hypothèses du théorème de comparaison série intégrale ci-dessus, mais on prend le taureau par les cornes en étudiant la différence

${\displaystyle \Delta _{n}=u_{n}-\int _{n}^{n+1}f(t)\,\mathrm {d} t}$.

Celle-ci vérifie l'encadrement : ${\displaystyle \qquad 0\leq \Delta _{n}\leq u_{n}-u_{n+1}}$.

Ce qui montre que la série de terme général Δ_n est à termes positifs et majorée par une série à termes télescopiques, convergente. Donc la série de terme général Δ_n converge. On peut donc écrire

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}u_{n}=\int _{0}^{N+1}f(t)\,\mathrm {d} t+\sum _{n=0}^{N}\Delta _{n}=\int _{0}^{N+1}f(t)\,\mathrm {d} t+\sum _{n=0}^{+\infty }\Delta _{n}+o(1)}$

On s'est contenté de dire que la série de terme général Δ_n convergeait. Pour aller plus loin, et estimer sa vitesse de convergence, on peut appliquer à cette même série la méthode de comparaison série-intégrale : il nous faut d'abord un équivalent pour Δ_n

${\displaystyle \Delta _{n}={\frac {1}{n}}-\ln(n+1)+\ln n={\frac {1}{n}}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\sim {\frac {1}{2n^{2}}}}$.

On compare alors le reste de la série de terme général Δ_n avec l'intégrale de la fonction ${\displaystyle t\mapsto {\frac {1}{2t^{2}}}}$ qui est encore continue positive décroissante :

${\displaystyle \int _{N+1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{2t^{2}}}\leq \sum _{n=N+1}^{+\infty }\Delta _{n}=\Delta -\sum _{n=1}^{N}\Delta _{n}\leq \int _{N}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{2t^{2}}}}$,

ce qui donne un développement de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\Delta _{n}}$ qu'on peut reporter dans la formule d'Euler. On peut recommencer ensuite l'opération effectuée, en soustrayant de nouveau l'intégrale avec laquelle on vient de faire la comparaison. La méthode se poursuit jusqu'à obtenir un développement à l'ordre désiré. Par exemple pour l'ordre suivant, on a : ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)}$.

On pose alors ${\displaystyle u_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\gamma -{\frac {1}{2n}}\quad (u_{n}=o\left({\frac {1}{n}}\right))}$, puis on trouve un équivalent ${\displaystyle v_{n}}$ de ${\displaystyle u_{n-1}-u_{n}}$ qu'on somme avec le théorème de sommation des équivalents, puis on trouve un équivalent de ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{+\infty }v_{n}}$ en comparant le terme général avec une intégrale.

On trouve alors :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}+{\frac {1}{240n^{8}}}-{\frac {1}{132n^{10}}}+O\left({\frac {1}{n^{12}}}\right)}$.