Série harmonique

Le terme général (u_n) de la série harmonique est défini par

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad u_{n}={\frac {1}{n}}}$.

On appelle n-ième nombre harmonique (noté classiquement H_n) la n-ième somme partielle de la série harmonique, qui est donc égale à

${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$.

Tous les termes du développement asymptotique peuvent s'obtenir par exemple par la méthode de comparaison série-intégrale.

Équivalent de H_n

${\displaystyle \int _{1}^{6}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\leq H_{5}}$

On utilise l'encadrement suivant, lié à la décroissance de la fonction inverse :

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\leq {\frac {1}{n}}\leq \int _{n-1}^{n}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t.}$

En sommant de 1 à N l'inégalité de gauche et, pour celle de droite, en sommant de 2 à N et en ajoutant 1, on arrive à :

${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\leq H_{N}\leq 1+\int _{1}^{N}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t.}$

Puis, en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont tous deux équivalents à ln N, on obtient :

${\displaystyle H_{N}\sim \ln N.}$

Second terme du développement asymptotique

La suite (H_n - ln n) admet une limite finie qui est traditionnellement notée avec la lettre grecque γ et appelée constante d'Euler-Mascheroni. On a donc la formule d'Euler[3] :

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +o(1)}$.

Les six premiers chiffres du développement décimal de la constante d'Euler sont :

${\displaystyle \gamma \approx 0{,}577215...}$

Le terme général (u_n) de la série harmonique alternée est défini par

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}.}$

C'est donc une variante de la série harmonique[4]. L'alternance des signes change tout puisque cette série converge, par le critère de convergence des séries alternées. On peut se servir de la formule d'Euler ci-dessus pour redémontrer sa convergence et déterminer sa somme[3] - [5] :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n}}+\cdots =-\ln 2.}$

Cette série n’est cependant que semi-convergente, et l’on peut, d’après le théorème de réarrangement de Riemann, la rendre divergente, ou la faire converger vers n’importe quel réel, en changeant l’ordre de ses termes.

Les seuls nombres harmoniques décimaux sont H₁ = 1, H₂ = 1,5 et H₆ = 2,45.

Pour tout nombre premier p ≥ 5, le numérateur de H_p–1 est divisible par p².

Pour plus de propriétés, voir l'article détaillé.

Le problème d'empilage de blocs : des dominos alignés en respectant la série harmonique pourraient franchir un espace de longueur arbitraire.

La série harmonique apparaît dans de nombreux problèmes de mathématiques récréatives, où sa lente divergence amène à des résultats contre-intuitifs, voire paradoxaux.

Dans le problème d'empilage de blocs, un calcul soigné montre qu'il est théoriquement possible d'empiler une arche formée de dominos identiques pour obtenir un surplomb aussi large qu'on veut, le surplomb obtenu à partir de ${\displaystyle n}$ dominos de longueur 2 étant le ${\displaystyle n}$-ème nombre harmonique ${\displaystyle H_{n}}$[6] - [7]

De même, dans le problème de la fourmi sur un élastique, alors que la fourmi avance à un centimètre par minute, et que l'élastique mesurant au départ un mètre, est étiré d'un mètre par seconde, la fourmi atteindra néanmoins finalement l'autre extrémité : la fraction de ruban qu'elle parcourt en n secondes est ${\displaystyle {\frac {1}{6000}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$, et la série étant divergente, ce nombre finira nécessairement par dépasser 1 (cependant, le temps de traversée est démesurément long, de l'ordre de e⁶⁰⁰⁰ secondes, soit plus de 10²⁰⁰⁰ années).

La série harmonique apparaît également dans le problème de la traversée du désert, où une jeep doit traverser un désert en ayant la possibilité de faire des dépôts de carburant sur son trajet ; la distance pouvant être parcourue est aussi grande qu'on veut, mais le nombre de dépôts (et la quantité de carburant consommée) croît exponentiellement avec la distance.