Problème de la fourmi sur un élastique

Le problème semble à première vue demander de résoudre une équation différentielle (pour déterminer ${\displaystyle y(t)}$) ; bien que ce ne soit pas très difficile d'y parvenir, le calcul reste relativement pénible. Martin Gardner a proposé dans le Scientific American[1] un argument montrant que même en pénalisant encore plus la fourmi, elle parvient néanmoins à parcourir tout l'élastique ; dans cette variante il n'y a plus besoin que de savoir que la série harmonique diverge.

On considère une variante où, au début de chaque seconde, l'élastique s'allonge instantanément, l'extrémité passant de ${\displaystyle x=c}$ à ${\displaystyle x=c+v}$ au temps ${\displaystyle t=0}$, de ${\displaystyle x=c+v}$ à ${\displaystyle x=c+2v}$ au temps ${\displaystyle t=1}$, etc. Si la fourmi peut parcourir tout l'élastique dans cette version, elle le peut certainement aussi dans le problème initial.

Appelons ${\displaystyle \theta (t)}$ la fraction de la distance à l'extrémité que la fourmi a parcouru au temps ${\displaystyle t}$ (et donc ${\displaystyle \theta (0)=0}$). Pendant la première seconde, la fourmi parcourt la distance ${\displaystyle \alpha }$, ce qui est ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+v}}}$ de la distance à l'extrémité.Lorsque l'élastique s'étire, ${\displaystyle \theta (t)}$ ne change pas, la fourmi se déplaçant avec le ruban, donc ${\displaystyle \theta (1)={\frac {\alpha }{c+v}}}$. La seconde suivante, la fourmi parcourt à nouveau ${\displaystyle \alpha }$ sur le ruban, soit une fraction ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+2v}}}$ de sa longueur totale ; on en déduit donc que ${\displaystyle \theta (2)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}}$. Finalement, pour chaque ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \theta (n)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}+\cdots +{\frac {\alpha }{c+nv}}}$.

Comme on a pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+kv}}\geqslant {\frac {\alpha }{kc+kv}}=\left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left({\frac {1}{k}}\right)}$, on voit que ${\displaystyle \theta (n)\geqslant \left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)>{\frac {\alpha \ln n}{c+v}}}$ (cette dernière inégalité venant de la formule de comparaison série-intégrale).

Le terme ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}$ est une somme partielle de la série harmonique, qui diverge ; on peut donc trouver un ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{N}}\geqslant {\frac {c+v}{\alpha }}}$, et donc que ${\displaystyle \theta (N)\geqslant 1}$ ; cela montre que tôt ou tard, la fourmi atteint son but ; utilisant la formule précédente, on voit qu’il suffit de prendre ${\displaystyle N=\exp({\frac {c+v}{\alpha }})}$. Cette méthode ne permet ainsi d'obtenir qu'une borne supérieure du temps qu'elle mettra, mais il s'avère qu'elle n'est pas trop mauvaise, comme on le verra dans la section suivante.

La mise en équation préliminaire montre que la position de la fourmi ${\displaystyle y(t)}$ satisfait l'équation différentielle linéaire du premier ordre ${\displaystyle y'(t)=\alpha +{\frac {v\,y(t)}{c+vt}}\iff (c+vt)y'(t)-vy(t)=\alpha }$ (avec la condition initiale ${\displaystyle y(0)=0}$). Cette équation peut se résoudre par les méthodes usuelles, mais il est beaucoup plus simple de prendre comme fonction inconnue auxiliaire la proportion de l'élastique parcouru par la fourmi à l'instant ${\displaystyle t}$, soit ${\displaystyle z(t)={\frac {y(t)}{c+vt}}}$, d'où ${\displaystyle z'(t)={\frac {y'(t)}{c+vt}}-{\frac {vy(t)}{(c+vt)^{2}}}}$ et finalement ${\displaystyle z'(t)={\frac {\alpha }{c+vt}}}$; la primitive cherchée est donc ${\displaystyle z(t)={\frac {\alpha }{v}}\ln(c+vt)+C^{te}}$ ; avec la condition ${\displaystyle z(0)=0}$, on obtient

${\displaystyle z(t)={\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}}$ (et ${\displaystyle y(t)={\frac {\alpha (c+vt)}{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}}$). La fourmi atteint son objectif quand ${\displaystyle z(t)=1}$, et donc quand ${\displaystyle t={\frac {c}{v}}\left(e^{v/\alpha }-1\right)}$.

Pour l'énoncé initial, ${\displaystyle c=1\,\mathrm {km} }$, ${\displaystyle v=1\,\mathrm {km} /\mathrm {s} }$ et ${\displaystyle \alpha =1\,\mathrm {cm} /\mathrm {s} }$, donc ${\displaystyle t=(e^{100\,000}-1)\,\mathrm {s} \,\!\approx 2,8\times 10^{43\,429}\,\mathrm {s} \,\!\approx 8,9\times 10^{43\,421}}$ années ; ce qui rend le problème quelque peu irréaliste : outre que ce temps est bien supérieur à l'âge de l'Univers, les atomes de l'élastique seront à cette date beaucoup plus espacés les uns des autres que le rayon actuel de l'Univers.

• Paradoxes de Zénon
• Théorème de Goodstein

Vidéo montrant la mise en équation et la résolution de l'équation différentielle