Vitesse supraluminique

Les vitesses supraluminiques observées en astrophysique résultent d'un phénomène bien compris. En aucun cas les particules de masse non nulle ne se déplacent réellement à des vitesses supérieures à c. Il n'y a donc pas violation du postulat de la relativité restreinte.

Le cercle sur la figure représente un objet matériel (paquet de gaz, de particules), projeté par le (micro)quasar émettant de la lumière et se déplaçant de haut en bas selon la flèche inclinée, avec une vitesse ${\displaystyle v}$. On se place dans le référentiel de l'observateur que nous sommes (ex. : un astronome observant un microquasar). L'observateur est situé en bas de la figure, très loin sur l'axe « y ». On observe l'objet dans sa position du haut à un temps ${\displaystyle t_{1}}$, et en bas à un temps ${\displaystyle t_{2}}$, (avec ${\displaystyle t_{1}<t_{2}}$).

Schéma décrivant le déplacement d'un objet (le rond) le long d'une direction (la flèche). L'observateur se trouve dans la direction de l'axe « y », en bas.

Par commodité, définissons : ${\displaystyle \beta \equiv v/c}$, où ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière. Naturellement, ${\displaystyle v=\beta \,c}$. Pour toute particule ayant une masse non nulle, ${\displaystyle 0\leq \beta <1}$. Pour la lumière, ${\displaystyle \beta =1}$.

Puisqu'il existe un angle ${\displaystyle \theta }$ entre l'axe « y » et la direction de l'objet dans l'espace, la vitesse de l'objet en mouvement projetée sur les axes « x » et « y » s'écrivent respectivement, par simple trigonométrie :

${\displaystyle v_{y}=\beta \,c\,\cos(\theta )}$

${\displaystyle v_{x}=\beta \,c\,\sin(\theta )}$

Si l'on définit l'intervalle de temps entre ${\displaystyle t_{1}}$ et ${\displaystyle t_{2}}$ comme ${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}}$, les intervalles de longueur projetés sur les axes « x » (${\displaystyle \Delta l_{x}}$) et « y » (${\displaystyle \Delta l_{y}}$) du déplacement de l'objet s'obtiennent comme :

${\displaystyle \Delta l_{y}=v_{y}\,\Delta t=\beta \,c\,\cos(\theta )\,\Delta t}$

${\displaystyle \Delta l_{x}=v_{x}\,\Delta t=\beta \,c\,\sin(\theta )\,\Delta t}$

Entre le temps ${\displaystyle t_{1}}$ et le temps ${\displaystyle t_{2}}$, l'objet s'est déplacé selon l'axe « y » d'une longueur ${\displaystyle \Delta l_{y}}$. Mais l'observateur se trouvant à très grande distance de l'objet, il ne peut pas percevoir le mouvement le long de l'axe « y », et l'objet ne semble s'être déplacé que transversalement. La lumière émise au temps ${\displaystyle t_{1}}$ et celle au temps ${\displaystyle t_{2}}$ a donc été émise à la même distance de l'observateur. Donc en apparence, le temps observé est plus court que le temps réel, puisque le temps mis par la lumière pour parcourir ${\displaystyle \Delta l_{y}}$ n'est pas perçu.

On pourrait dire à l'inverse que l'intervalle de temps effectivement observé est plus court que l'intervalle de temps vrai, puisque la lumière a économisé la distance ${\displaystyle \Delta l_{y}}$ entre les deux observations, distance qui est non négligeable lorsque la vitesse réelle est comparable à celle de la lumière. Pour des vitesses habituelles, à l'échelle humaine (qui sont très faibles devant la vitesse de la lumière), ce temps est minuscule et parfaitement indétectable. Mais dans le cas où l'objet matériel se déplace avec une vitesse comparable à celle de la lumière ce temps n'est pas négligeable. Ainsi :

${\displaystyle \Delta t_{\textrm {obs}}=\Delta t\,-\,{\frac {\Delta l_{y}}{c}}=\Delta t\,\left(1-\beta \,\cos(\theta )\right)}$

Pour des vitesses à l'échelle humaine, ${\displaystyle \beta }$ est extrêmement petit, et le terme ${\displaystyle \beta \,\cos(\theta )}$ tend donc vers 0. Dans ce cas, les intervalles de temps observés et réels sont égaux. De même, pour un angle ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$, le cosinus est nul, la projection le long de l'axe « y » est nulle, et l'effet aussi. Si ${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$, on ne voit pas l'objet se déplacer transversalement. Il existe un angle intermédiaire, pour lequel cet effet est maximal. Si ${\displaystyle \beta }$ est assez grand alors la vitesse apparente maximale est plus grande que celle de la lumière.

En effet, la vitesse observée (en fait calculée à partir des observations) transversalement, le long de l'axe « x », ou mieux, en divisant par ${\displaystyle c}$ :

${\displaystyle \beta _{\textrm {obs}}={\frac {v_{\textrm {obs}}}{c}}={\frac {\Delta l_{x}}{\Delta t_{\textrm {obs}}}}{\frac {1}{c}}={\frac {\beta \,\sin(\theta )}{1-\beta \,\cos(\theta )}}}$

Courbes de la vitesse observée ${\displaystyle \beta _{\textrm {obs}}}$ en fonction de ${\displaystyle \theta }$, pour différentes valeurs de la vitesse réelle du mouvement, ${\displaystyle \beta }$ qui, elle, reste toujours inférieure à la vitesse de la lumière.

Cette fonction de ${\displaystyle \theta }$ est illustrée sur la figure ci-contre, et peut dépasser 1 ! Donc la vitesse observée peut dépasser la valeur de la vitesse de la lumière, même si la vitesse réelle est plus petite (ou en d'autres termes ${\displaystyle \beta _{\textrm {obs}}>1}$ même si ${\displaystyle \beta <1}$).

On obtient la position du maximum de la courbe en annulant sa dérivée :

${\displaystyle {\frac {d\beta _{\textrm {obs}}}{d\theta }}={\frac {(1-\beta \,\cos(\theta ))\,\beta \,\cos(\theta )-(\beta \,\sin(\theta ))^{2}}{(1-\beta \,\cos(\theta ))^{2}}}=0}$

Donc le terme supérieur doit être nul, ce qui implique que le maximum de la courbe s'obtient lorsque ${\displaystyle \beta =\cos(\theta )}$.

Il existe une valeur minimum de ${\displaystyle \beta }$ en dessous de laquelle la vitesse observée ne peut jamais être supérieure à la vitesse de la lumière. Inversement, si ${\displaystyle \beta }$ est plus grand que cette valeur, il existe toujours au moins un angle pour lequel la vitesse observée est plus grande que la vitesse de la lumière (c'est-à-dire ${\displaystyle \beta _{\textrm {obs}}>1}$). En remplaçant ${\displaystyle \beta }$ par ${\displaystyle \cos(\theta )}$ dans l'expression de ${\displaystyle \beta _{\textrm {obs}}}$, et en égalant à 1 pour obtenir le maximum de la courbe exactement à la vitesse de la lumière, on obtient que dans ce cas particulier : ${\displaystyle \beta =\cos(\theta )=\sin(\theta )}$, et que :

${\displaystyle \beta _{\textrm {min}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0.707}$

Ce qui correspond à environ 212 000 km/s.

Mouvement supraluminique.