Électrodynamique des milieux continus

Grandeur	Dénomination	Unités SI
${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}},t)}$ ou ${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}},\omega )}$	Vecteur champ magnétique	ampère par mètre : ${\displaystyle {\rm {A\cdot m^{-1}}}}$
${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}},t)}$ ou ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}},\omega )}$	Vecteur induction magnétique	weber par mètre carré : ${\displaystyle {\rm {Wb\cdot m^{-2}}}}$, ou tesla : ${\displaystyle {\rm {T}}}$
${\displaystyle {\vec {J_{l}}}({\vec {r}},t)}$ ou ${\displaystyle {\vec {J_{l}}}({\vec {r}},\omega )}$	Vecteur densité de courant libre	ampère par mètre carré : ${\displaystyle {\rm {A\cdot m^{-2}}}}$
${\displaystyle {\vec {M}}({\vec {r}},t)}$ ou ${\displaystyle {\vec {M}}({\vec {r}},\omega )}$	Vecteur aimantation	ampère par mètre : ${\displaystyle {\rm {A\cdot m^{-1}}}}$
${\displaystyle \mu ({\vec {r}},t)}$ ou ${\displaystyle \mu ({\vec {r}},\omega )}$	Perméabilité absolue du milieu continu	henry par mètre : ${\displaystyle {\rm {H\cdot m^{-1}}}}$
${\displaystyle \mu _{0}}$	Perméabilité du vide	henry par mètre : ${\displaystyle {\rm {H\cdot m^{-1}}}}$

Selon les auteurs et les sources, le champ magnétique est désigné par ${\displaystyle {\vec {H}}}$ ou ${\displaystyle {\vec {B}}}$. Historiquement, ${\displaystyle {\vec {H}}}$ fut désigné comme « champ magnétique », et ${\displaystyle {\vec {B}}}$ comme « induction magnétique », cependant aujourd'hui ${\displaystyle {\vec {B}}}$ désigne le champ magnétique dans le vide. Il faut faire la distinction entre les conditions du vide ou d'un milieu microscopique (équivalent au vide localement), et les conditions d'un milieu matériel mésoscopique ou macroscopique. Dans le vide, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ et ${\displaystyle {\vec {H}}}$ désignent la même chose (à une constante près ${\displaystyle \mu _{0}}$) et la notion d’« induction magnétique » n'a pas vraiment de sens, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ et ${\displaystyle {\vec {H}}}$ désignent donc la même chose, le « champ magnétique ». Dans un milieu matériel, c'est ${\displaystyle {\vec {H}}}$ qui est mesuré et qui a les propriétés mathématiques d'un champ vectoriel (comme le champ électrique), la terminaison « champ magnétique » est donc préférablement attribuée à ${\displaystyle {\vec {H}}}$ pour les milieux matériels.

Grandeur	Dénomination	Unités SI
${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}({\vec {r}})}$	Différentielle orientée de chemin Vecteur	mètre : ${\displaystyle {\rm {m}}}$
${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}({\vec {r}})}$	Différentielle orientée de surface	mètre carré : ${\displaystyle {\rm {m^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {d} V}$ ou ${\displaystyle \mathrm {d} \tau }$	Différentielle de volume ${\displaystyle V}$	mètre cube : ${\displaystyle {\rm {m^{3}}}}$
${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\vec {r}}}$	Opérateur différentiel Nabla	par mètre : ${\displaystyle {\rm {m^{-1}}}}$

Remarque; Selon les auteurs on trouve parfois le vecteur A (${\displaystyle {\vec {A}}}$) pour la surface mais cela pose un risque de confusion avec le potentiel vecteur noté de la même manière. C'est pourquoi on utilise S ici.

Quel que soit le milieu continu, les équations dites de Maxwell permettent de décrire l'évolution des grandeurs électromagnétiques dans ce milieu, et s'écrivent dans le Système international d'unités comme :

Loi	Forme « intégrale »	Forme « locale »
Loi d'induction de Faraday	${\displaystyle \oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}$	${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$ ou ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$
Loi de Maxwell-Ampère	${\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=\int _{S}{\vec {J_{l}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}$	${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {H}}={\vec {J_{l}}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$ ou ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J_{l}}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$
Loi de Gauss	${\displaystyle \oint _{S}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \mathrm {div} \ {\vec {D}}=\rho _{l}}$ ou ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho _{l}}$
Absence de monopôles magnétiques	${\displaystyle \oint _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=0}$	${\displaystyle \mathrm {div} \ {\vec {B}}=0}$ ou ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$

Les relations précédentes gouvernent l'évolution des grandeurs électromagnétiques dans chaque milieu continu, toutefois il est donc nécessaire d'y ajouter les règles qui décrivent le passage d'un milieu à l'autre :

Relation de passage	Forme "locale"
Continuité de la composante tangentielle de ${\displaystyle {\vec {E}}}$	${\displaystyle {\vec {n}}_{12}\wedge ({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1})\ ={\vec {0}}}$
Saut de la composante tangentielle de ${\displaystyle {\vec {H}}}$	${\displaystyle {\vec {n}}_{12}\wedge ({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1})\ =\ {\vec {J_{l_{s}}}}}$
Saut de la composante normale de ${\displaystyle {\vec {D}}}$	${\displaystyle {\vec {n}}_{12}\ \cdot \ ({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1})\ =\ \rho _{l_{s}}}$
Continuité de la composante normale de ${\displaystyle {\vec {B}}}$	${\displaystyle {\vec {n}}_{12}\ \cdot \ ({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1})\ =\ 0}$

où ${\displaystyle {\vec {J_{l_{s}}}}}$ et ${\displaystyle \rho _{l_{s}}}$ représentent respectivement la densité superficielle de courant libre, et la densité superficielle de charge libre, qui peuvent exister à l'interface séparant les deux milieux.

À noter que ces relations de passage ne sont pas indépendantes des équations de Maxwell, elles peuvent très bien en être déduites tout naturellement. Une démonstration rigoureuse existe au sens mathématique en utilisant la théorie des distributions de L. Schwarz, et en considérant que les équations de Maxwell sont vraies au sens des distributions. Cependant, pour des raisons pratiques, il est beaucoup plus commode de considérer séparément les équations de Maxwell prises au sens des fonctions, et les relations de passage.

Les champs ${\displaystyle {\vec {D}}}$ et ${\displaystyle {\vec {H}}}$ introduits précédemment sont définis par :

${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},t)=\varepsilon _{0}{\vec {E}}({\vec {r}},t)+{\vec {P}}({\vec {r}},t)}$

${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}({\vec {r}},t)-{\vec {M}}({\vec {r}},t),}$

où ${\displaystyle {\vec {P}}}$ est la polarisation électrique et ${\displaystyle {\vec {M}}}$ l'aimantation du matériau. Ces deux derniers vecteurs sont reliés aux densités de charge et courant liés, par

${\displaystyle \rho _{\text{lié}}=-\nabla \cdot {\vec {P}},}$

${\displaystyle {\vec {J}}_{\text{lié}}=\nabla \wedge {\vec {M}}+{\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}}.}$

Si on exprime les densités totales de charge et de courant comme la somme d'une composante liée et d'une composante libre :

${\displaystyle \rho =\rho _{\text{lié}}+\rho _{l},}$

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {J}}_{\text{lié}}+{\vec {J}}_{l},}$

on peut montrer l'équivalence entre les équations de Maxwell macroscopiques décrites ci-dessus et les équations de Maxwell microscopiques telles qu'on les écrit dans le vide.

Voir l'article sur la Force électromagnétique ou Force de Lorentz. Dans un milieu continu, cela permet d'expliquer l'effet Hall ou la force de Laplace.

• Milieu linéaire :

où ${\displaystyle [\varepsilon ({\vec {r}},\omega )]}$ et ${\displaystyle [\mu ({\vec {r}},\omega )]}$ sont des matrices 3x3, appelées respectivement permittivité absolue du milieu, et perméabilité absolue du milieu. Dans l'expression des champs dans l'espace spatiale réciproque (transformée de Fourier en trois dimensions), le produit de convolution serait remplacé par un simple produit.

• Milieu linéaire local : le champ induit en un point ne dépend que des propriétés du milieu et du champ inducteur en ce point, le produit de convolution spatial est donc remplacé par un produit classique :

• Milieu linéaire homogène : même propriétés du milieu en chaque point, ${\displaystyle [\varepsilon ({\vec {r}},\omega )]}$ et ${\displaystyle [\mu ({\vec {r}},\omega )]}$ sont des matrices 3x3 dont les coefficients ne dépendent pas de la position :

Échappent à ces relations (milieux inhomogènes), par exemple, les milieux dont les propriétés sont influencées par un gradient de température, ce qui donne le phénomène de mirage.

• Milieu linéaire isotrope : même propriétés dans toutes les directions, ${\displaystyle [\varepsilon ({\vec {r}},\omega )]}$ et ${\displaystyle [\mu ({\vec {r}},\omega )]}$ sont diagonalisables, avec mêmes coefficients sur la diagonales, ce qui ramène à une fonction :

Échappent à ces relations (milieux anisotropes), par exemple, les milieux biréfringents (la matrice est diagonale, mais avec des coefficients différents), milieux gyrotropes...

• Milieu linéaire non dispersif : dans certains diélectriques, et pour une certaine bande de fréquence, on suppose que la permittivité et la perméabilité ne dépendent pas de la fréquence normalisée :

• Milieu ohmique : relation entre la densité de courant et le champ électrique :

Il est possible de « construire » les relations de constitution des milieux continus en considérant que la polarisation électrique et l'aimantation du matériau sont des « réponses » respectivement au champ électrique et au champ magnétique appliqués. En supposant que ces réponses sont linéaires, on peut écrire :

Où ${\displaystyle [\chi _{e}({\vec {r}},\omega )]}$ et ${\displaystyle [\chi _{m}({\vec {r}},\omega )]}$ sont désignés respectivement comme la susceptibilité électrique, et la susceptibilité magnétique du milieu. Elles sont caractéristiques du milieu, et le définissent en quelque sorte. Ce sont des matrices 3x3, dont les coefficients sont sans dimension, il en ressort que la polarisation et l'aimantation résultantes ne sont pas forcément orientés comme le champ électromagnétique extérieur qui les a engendré. À partir de ces relations et des définitions de ${\displaystyle {\vec {D}}}$ et ${\displaystyle {\vec {H}}}$ il vient :

Il est commode alors de définir les grandeurs suivantes :

Respectivement la permittivité relative et la perméabilité relative du milieu. Ce sont aussi des matrices 3x3 dont les coefficients sont sans dimension. Il est très utile de définir ces grandeurs qui servent le plus souvent dans les équations et les calculs en électrodynamique des milieux continus (plus que les susceptibilités).

Enfin en définissant les grandeurs ${\displaystyle [\varepsilon ({\vec {r}},\omega )]=\varepsilon _{0}[\varepsilon _{r}({\vec {r}},\omega )]}$ et ${\displaystyle [\mu ({\vec {r}},\omega )]=\mu _{0}[\mu _{r}({\vec {r}},\omega )]}$, on retombe sur la permittivité absolue et la perméabilité absolue définie dans le cas des milieux continus linéaires. On retrouve alors les relations de constitutions d'un milieu linéaire (premières relations énoncées) :

Accessible au niveau du premier cycle universitaire.

• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton et Matthew Sands (en), Le Cours de physique de Feynman [détail de l’édition], InterEditions, 1979, publié en deux volumes :
  • Électromagnétisme I (ISBN 2-7296-0028-0), rééd. Dunod (ISBN 2-10-004861-9)
  • Électromagnétisme II (ISBN 2-7296-0029-9), rééd. Dunod (ISBN 2-10-004316-1)

• Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 8 : Électrodynamique des milieux continus [détail des éditions]

• John David Jackson (trad. de l'anglais), Électrodynamique classique [« Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition]

• Wolfgang K. H. Panofsky et Melba Phillips ; Classical electricity and magnetism, Addison-Wesley (2^e édition-1962). Réédité par : Dover Publications, Inc. (2005), (ISBN 0486439240). L'ouvrage de référence en électrodynamique classique avant la parution du Jackson

• Olivier Darrigol ; Les équations de Maxwell - de MacCullagh à Lorentz, Belin (2005), (ISBN 2-7011-3073-5). Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS. Les équations de Maxwell, véritable monument scientifique, fournissent une description précise de l’ensemble des phénomènes électromagnétiques. Bien que James Clerk Maxwell ait joué le rôle le plus éminent dans leur introduction, elles sont apparues dans des contextes divers sous la plume de plusieurs auteurs (MacCullagh, Maxwell et Lorenz) et n’ont acquis leur interprétation moderne que grâce aux efforts d’héritiers de Maxwell (Heaviside, Hertz et Lorentz). C’est ce que montre l’auteur, à travers l’étude détaillée de textes fondateurs écrits dans les deux derniers tiers du XIX^e siècle.