Modèle de Drude

Supposons que la conduction électrique soit le fait uniquement d'électrons. Ce sont des porteurs de charge q = -e et de masse m_e :

• q = -e ≃ 1,602 × 10⁻¹⁹ C (voir Charge élémentaire) ;
• m_e ≃ 9,109 × 10⁻³¹ kg.

Alors, d'un point de vue dynamique, l'électron obéit à la loi suivante :

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {v} }-\Gamma {\vec {v}}}$

où

• v est la vitesse de l'électron, exprimée en mètre par seconde (m s⁻¹) ;
• F_v est la force de Lorentz exprimée en newtons (N),
  ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {v} }=q({\vec {\mathrm {E} }}+{\vec {v}}\wedge {\vec {\mathrm {B} }})}$
  E étant le champ électrique et B le champ magnétique ;
• Γ est un coefficient de frottement empirique exprimé en kilogrammes par seconde (kg s⁻¹).

C'est une équation différentielle linéaire d'ordre un.

Notons que ceci reste vrai pour d'autres types de porteurs de charge, comme les trous d'électrons dans un cristal ou bien les ions dans une solution saline.

Supposons que l'électron ait une vitesse initiale v₀, et que le champ électrique soit uniforme et constant, E₀. Alors, la résolution de l'équation différentielle ci-dessus mène à :

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}+\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\cdot {\frac {q}{\Gamma }}{\vec {\mathrm {E} }}_{0}}$

où

• ${\displaystyle \tau ={\frac {m_{\mathrm {e} }}{\Gamma }}}$ est la constante de temps, caractéristique d'amortissement du système ;
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {l} }={\frac {q}{\Gamma }}{\vec {\mathrm {E} }}_{0}}$ est la vitesse limite vers laquelle tend l'électron.

On peut relier le coefficient de frottement à la densité volumique d'électrons N_e et à la conductivité électronique σ₀ :

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\mathrm {N_{e}} e^{2}}{\sigma _{0}}}}$

On peut de même déduire la constante de temps :

${\displaystyle \tau ={\frac {\sigma _{0}m_{\mathrm {e} }}{\mathrm {N_{e}} e^{2}}}}$

Pour le cuivre pur (σ₀ = 5,98 × 10⁷ S m⁻¹), on suppose que l'on a un électron de conduction par atome, soit avec la masse volumique ρ_m = 8,96 × 10³ kg m⁻³, la masse molaire M = 63,5 g mol-1 et le nombre d'Avogadro N_A = 6,02 × 10²³ mol⁻¹, on a :

N_e = ρ_mN_A/M = 8,49 × 10²⁸ m⁻³

et donc

τ ≃ 2,499 9 × 10⁻¹⁴ s

Si les vitesses sont lentes devant la vitesse de la lumière (cas non-relativiste), alors l'effet du champ magnétique est négligeable devant celui du champ électrique. On a donc :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {v} }\simeq q{\vec {\mathrm {E} }}}$

et l'équation dynamique devient :

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}+\Gamma {\vec {v}}=q{\vec {\mathrm {E} }}}$.

Si le champ électrique est sinusoïdal

${\displaystyle {\vec {\mathrm {E} }}(t)=\sin(\omega t){\vec {\mathrm {E} }}_{0}}$

alors la solution de l'équation différentielle est, en écriture complexe :

${\displaystyle {\vec {\underline {v}}}(t)={\frac {q}{\Gamma +i\omega m_{\mathrm {e} }}}{\vec {\mathrm {E} }}(t)}$.

On a alors une conductivité électrique complexe dépendant de la pulsation (donc de la fréquence) :

${\displaystyle {\underline {\sigma }}(\omega )=\sigma _{0}{\frac {1}{1+i\omega \tau }}}$

Pour calculer la conductivité dans un champ électromagnétique, nous partons des équations de Maxwell, nommément

Loi	Expression mathématique
« Loi de Coulomb »	${\displaystyle \nabla \cdot \mathrm {D} =\rho }$
« Loi d'Ampère »	${\displaystyle \nabla \wedge \mathrm {H} -{{\partial \mathrm {D} } \over {\partial t}}=\mathrm {J} }$
« Loi de Faraday »	${\displaystyle \nabla \wedge \mathrm {E} +{{\partial \mathrm {B} } \over {\partial t}}=0}$
« Absence de monopôles magnétiques »	${\displaystyle \nabla \cdot \mathrm {B} =0}$

De ces équations nous tirons la relation entre la conductivité σ et la constante diélectrique ε :

${\displaystyle \varepsilon \cdot \left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)-k^{2}=i\omega \mu _{0}\sigma }$

Si nous décrivons le gaz d'électrons par sa matrice densité ρ(P, Q), celle-ci vérifie l'équation d'évolution :

${\displaystyle {d_{t}\rho (\mathrm {P} ,\mathrm {Q} )\mathrm {P} }=\{\mathrm {H} ,\rho \mathrm {P} \}_{\mathrm {Q} ,\mathrm {P} }+\Sigma _{+}-\Sigma _{-}}$

où ${\displaystyle \{\}_{\mathrm {P} ,\mathrm {Q} }}$ représente le crochet de Poisson et ${\displaystyle \Sigma _{+},\Sigma _{-}~}$ les termes de source et de destruction. Posons maintenant que l'hamiltonien H = H₀ + H₁ et que ρ = ρ₀ + ρ₁, où H₁ et ρ₁ représentent des termes perturbatifs. L'équation initiale se réécrit alors sous la forme :

${\displaystyle {d_{t}\rho (\mathrm {P} ,\mathrm {Q} )\mathrm {P} _{\alpha }}=\{\mathrm {H} _{0},\rho _{1}\mathrm {P} \}_{\mathrm {Q} ,\mathrm {P} }+\{\mathrm {H} _{1},\rho _{0}\mathrm {P} _{\alpha }\}_{\mathrm {Q} ,\mathrm {P} }-{{\rho _{1}\mathrm {P} _{\alpha }} \over \tau }~}$

En remarquant l'indépendance de ρ₀P_β de ρ₁P_β et de H₀ par rapport à Q_α (homogénéité de la distribution des charges et invariance spatiale du hamiltonien non perturbé), il vient que la solution au premier ordre de la distribution perturbée s'écrit :

${\displaystyle \left(-i\omega +{\frac {1}{\tau }}\right)\rho _{1}\mathrm {P} _{\alpha }=(ik_{\beta }x_{\alpha }+\delta _{\alpha \beta })e\mathrm {E} _{\alpha }\left({\frac {\partial \rho _{0}}{\partial \mathrm {P} _{\beta }}}\right)}$

En posant l'approximation des grandes longueurs d'onde (et donc k petit), on trouve la forme de la conductivité :

${\displaystyle \sigma ={\frac {\varepsilon _{0}\tau \omega _{\mathrm {p} }^{2}}{-i\omega \tau +1}}}$

• Loi de Nernst-Einstein
• Électron élastiquement lié

• Geneviève Tulloue, « Mouvement d'une particule chargée dans un milieu matériel », sur Figures animées pour la physique (sciences.univ-nantes.fr) (consulté le 16 novembre 2015)