Phonon

On étudie donc un tel réseau, homogène (un seul type d'atome), comportant N atomes de masse m positionnés en ${\displaystyle \textstyle \;x_{i}\,,\;i=1..N\;}$ liés entre eux par un potentiel harmonique représenté par un ressort de constante élastique C. À l'équilibre la distance entre atomes est a. Avec l'approximation de périodicité et celle de la seule influence des voisins proches, on peut écrire la dynamique du système physique par le système d'équation cinématiques suivant :

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=C(x_{i+1}-x_{i-1})-2Cx_{i}\,,\quad i=1..N\,,\quad x_{0}=x_{N}\,,\;x_{N+1}=x_{1}}$

La solution étant supposée oscillatoire on utilise pour obtenir un découplage des équations du système une transformation de Fourier discrète[7]. On définit les coordonnées normales :

${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}e^{-j{\frac {2\pi }{N}}ka}\;\Longleftrightarrow \;x_{i}=\sum _{k=1}^{N}Q_{k}e^{jkia}\,,\quad k={n\pi \over Na}\,,\quad n=1,...,N}$

où j est l'unité imaginaire.

On obtient un système d'équations découplées[8] :

${\displaystyle {\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}=2\Omega ^{2}(\cos ka-1)Q_{k}\,,\quad \Omega ={\sqrt {\frac {C}{m}}}}$

La solution de chaque équation s'écrit comme une fonction sinusoïdale d'amplitude ${\displaystyle \textstyle A_{k}}$ :

${\displaystyle X_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t}\,,\quad \omega _{k}=\Omega {\sqrt {2(1-\cos ka)}}=2\Omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

Elle constitue un mode normal de nombre d'onde k et de pulsation ${\displaystyle \textstyle \omega _{k}}$.

La relation ${\displaystyle \textstyle k\to \omega _{k}}$ constitue la relation de dispersion.

Dans la limite du continu obtenue pour ${\displaystyle \textstyle N\to \infty \,,a\to 0\,,Na=C^{ste}}$ on obtient un champ d'oscillateurs harmonique de pulsation ${\displaystyle \textstyle \omega (k)=\Omega ak}$.

L'hamiltonien du système s'écrit :

${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{P_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}\sum _{pv}(X_{i}-X_{j})^{2}}$

où

• ${\displaystyle \textstyle X_{i}}$ est l'opérateur position pour l'atome i ;
• ${\displaystyle \textstyle P_{i}}$ est l'opérateur impulsion.

On définit :

• 2N+1 « coordonnées normales » Q_k définies comme les transformées de Fourier des opérateurs position X_i ;
• 2N+1 « moments conjugués » Π_k définis comme les transformées de Fourier des opérateurs impulsion P_i.

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}&=&{1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{k}Q_{k}e^{jkia}&\,,\quad k={n\pi \over Na}\,,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm N\\P_{i}&=&{1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{k}\Pi _{k}e^{-jkia}&\\\end{matrix}}}$

k est le nombre d'onde du phonon qui prend des valeurs quantifiées résultant du choix de la périodicité du système.

En inversant la transformée de Fourier pour exprimer les Q_k en fonction des X_i et les Π_k en fonction des P_i, et en utilisant les relations de commutations canoniques entre les X_i et les P_i de la mécanique quantique :

${\displaystyle \left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]=i\hbar \delta _{kk'}\,,\quad \quad \left[Q_{k},Q_{k'}\right]=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0}$

En d'autres termes, les coordonnées normales Q_k et leurs moments conjuguées Π_k obéissent aux mêmes relations de commutation que les opérateurs position X_i et impulsion P_i. En fonction de ces grandeurs, l'hamiltonien s'écrit :

${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

avec

${\displaystyle \omega _{k}=\Omega {\sqrt {2(1-\cos ka)}}=2\Omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

Le couplage entre les variables positions a été transformé. Si les Q_k et les Π_k étaient hermitiens (ce qui n'est pas le cas), l'hamiltonien transformé décrirait N oscillateurs harmoniques non couplées. En fait, cet hamiltonien décrit une théorie quantique des champs de bosons découplés.

Le spectre des énergies propres de cet hamiltonien est obtenu en utilisant les opérateurs adjoints création et annihilation de quantum d'énergie a_k^† et a_k définis comme :

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{k}&=&{\sqrt {m\omega _{k} \over 2\hbar }}(Q_{k}+{i \over m\omega _{k}}\Pi _{-k})\\a_{k}^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega _{k} \over 2\hbar }}(Q_{-k}-{i \over m\omega _{k}}\Pi _{k})\end{matrix}}}$

Ces opérateurs adjoints vérifient :

${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left(a_{k}^{\dagger }a_{k}+1/2\right)}$

${\displaystyle [a_{k},a_{k'}^{\dagger }]=\delta _{kk'}}$

${\displaystyle [a_{k},a_{k'}]=[a_{k}^{\dagger },a_{k'}^{\dagger }]=0.}$

Comme dans le cas de l'oscillateur harmonique quantique, on peut montrer que les opérateurs a_k^† et a_k correspondent respectivement à la création et l'annihilation d'une excitation d'énergie ℏω_k. Cette excitation est un phonon[9], correspondant à l'intervalle d'énergie relative à un phonon entre deux niveaux du mode k :

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega _{k}\,,\quad n=1,2,3...}$

On peut immédiatement en déduire deux propriétés importantes des phonons. D'abord, les phonons sont des bosons : tout mode de vibration k peut voir son nombre d'excitation augmenter par l'application répétée de l'opérateur création a_k^†. En second lieu, chaque phonon est un « mode collectif » correspondant au mouvement de la (quasi) totalité des atomes du réseau. Cette seconde conclusion se voit dans le fait que les opérateurs adjoints contiennent des sommations sur les positions et les impulsions de tous les atomes du réseau.

On peut voir que les excitations générées par les opérateurs adjoints sont des ondes de déplacement d'atomes du réseau en calculant la fonction de corrélation position-position. Soit ${\displaystyle \textstyle |k\rangle }$ un état pour lequel un seul quantum de mode k est excité, c’est-à-dire :

${\displaystyle {\begin{matrix}|k\rangle =a_{k}^{\dagger }|0\rangle \end{matrix}}}$

On peut alors montrer que pour deux atomes i et j quelconques :

${\displaystyle \langle k|x_{i}(t)x_{j}(0)|k\rangle ={\frac {\hbar }{Nm\omega _{k}}}\cos \left[k(i-j)a-\omega _{k}t\right]+\langle 0|x_{i}(t)x_{j}(0)|0\rangle }$

ce qui décrit une onde du réseau de pulsation ω_k et de nombre d'onde k.

Il est tentant de considérer un phonon de vecteur d'onde ${\displaystyle \textstyle \,{\vec {k}}\,}$ comme s'il possédait une quantité de mouvement ${\displaystyle \textstyle \,\hbar {\vec {k}}\,}$, par analogie avec les photons, ou toutes les ondes correspondant à un corpuscule (dualité onde-corpuscule). Ce n'est pas tout à fait correct, car ${\displaystyle \textstyle \,\hbar {\vec {k}}\,}$ n'est pas réellement une quantité de mouvement physique. Il est nommé pseudo- quantité de mouvement ou « impulsion » de vibration. Ceci est dû au fait que ${\displaystyle \textstyle \,{\vec {k}}\,}$ n'est déterminé qu'à un multiple de vecteur constant près, le vecteur ${\displaystyle \textstyle \,{\vec {K}}\,}$ du réseau réciproque. Par exemple les coordonnées normales Q et Π sont définies de telle manière que :

${\displaystyle \mathrm {Q} _{\vec {k}}\equiv \mathrm {Q} _{{\vec {k}}+{\vec {K}}}\quad$ ;\quad \Pi _{\vec {k}}\equiv \Pi _{{\vec {k}}+{\vec {K}}}}

Pour un réseau unidimensionnel ${\displaystyle \textstyle \;K=2n\pi /a\,,\;n=1,2,3...}$. Un phonon de nombre d'onde k est donc équivalent à un nombre infini d'autres phonons de la même famille de nombres d'onde k ± 2π/a, k ± 4π/a, etc.

Généralement, on ne considère que les phonons de vecteurs d'onde ${\displaystyle {\vec {k}}}$ de chaque famille possédant le plus « petit » vecteur ${\displaystyle {\vec {k}}}$. L'ensemble de ces vecteurs définit la première zone de Brillouin. D'autres zones de Brillouin peuvent être définies comme des copies de la première zone, décalées d'un multiple de vecteurs du réseau réciproque.

L'ensemble des phonons présents dans un cristal peut être considéré comme un gaz, au même titre que le gaz de photons. Les phonons étant des bosons leur distribution statistique obéit à la statistique de Bose-Einstein :

${\displaystyle n_{k,s}={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

L'énergie du milieu est donc :

${\displaystyle E=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\left(n_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega _{k}}$

À partir de la fonction de partition ${\displaystyle \textstyle \,Z=\Pi _{k}\Pi _{s=1}^{3}n_{k,s}e^{-{\frac {\hbar \omega _{k,s}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}\,}$ la physique statistique permet de calculer toutes les propriétés thermodynamiques.

Les phonons peuvent interagir[10] - [11] - [6] avec une singularité du réseau cristallin (atome étranger ou isotope, lacune, dislocation ou autre défaut). Il en résulte une diffusion qui ne conserve pas la quantité de mouvement.

Ils peuvent aussi réagir avec un autre phonon ; deux cas sont possibles :

• la somme des deux vecteurs d'onde est telle que leur somme reste dans la zone de Brillouin et le vecteur d'onde résultant a cette somme ;
• dans le cas contraire on a affaire à un processus umklapp (umklappprozeß) qui ne conserve pas la quantité de mouvement pour le phonon résultant, l'excédent étant transféré au réseau dans son ensemble. Il faut noter que ce phénomène anharmonique est lié au terme d'ordre 3 dans le développement du potentiel interatomique du milieu.

Une interaction est aussi possible avec les électrons lorsque ceux-ci sont loin de l'équilibre thermodynamique. Le schéma d'interaction est analogue à l'interaction phonon-phonon et peut conduire à une diffusion umklapp.

Enfin on a déjà mentionné plus haut l'interaction photon-phonon pour la branche optique des cristaux ioniques. Une interaction faible peut également se produire avec les branches acoustiques (diffusion Brillouin).

Tous ces phénomènes conservent l'énergie.

Il est possible d'écrire une équation cinétique pour la population ${\displaystyle \textstyle n_{\mathbf {k} ,s}}$, c'est l'équation de Boltzmann-Peierls. Plus générale que l'équation de la chaleur, elle permet le calcul des échanges thermiques au niveau microscopique, par exemple en microélectronique.

La capacité calorifique d'un matériau cristallin est accessible par le modèle de Debye, issu des méthodes décrites ci-dessus.

La conductivité thermique λ qui peut être reliée[10] à la chaleur spécifique C_V et au libre parcours moyen dans le milieu l par l'expression ${\displaystyle \textstyle \lambda ={\frac {1}{3}}C_{V}l}$ mais qui en pratique est issue de l'expérience.

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