Gaz de photons

Si on analyse[1] - [2] la variation spatio-temporelle du champ électromagnétique par une transformation de Fourier, celui-ci apparaît comme la superposition d'ondes planes monochromatiques. Le champ électrique par exemple sera donné par

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\nu )\,e^{j\,(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -2\pi \nu t)}}$

où ${\displaystyle \mathbf {x} }$ est la position et ${\displaystyle \mathbf {k} }$ le vecteur d'onde tel que

${\displaystyle k={\frac {2\pi \nu }{c}}={\frac {2\pi e}{hc}}}$.

Les modes propres du champ électromagnétique dans une boîte de dimension L sont définis par l'annulation du champ de l'onde à chaque extrémité du domaine

${\displaystyle k_{i}={\frac {2\pi n_{i}}{L}}\,,\;n_{i}\in \mathbb {N} ^{*}}$

Chaque mode possède donc l'énergie

${\displaystyle e_{i}={\frac {hc}{2\pi }}k_{i}=hc\,{\frac {n_{i}}{L}}=h\nu _{i}}$

Dans une boîte de dimension raisonnable ces modes sont très serrés compte tenu de la valeur de hc, ce qui justifie le passage au continu effectué plus loin.

Dans l'espace des vecteurs d'onde chaque mode occupe un volume

${\displaystyle \Delta k_{x}\Delta k_{y}\Delta k_{z}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2\pi }{L}}\right)^{3}={\frac {4\pi ^{3}}{V}}}$

Le facteur 1/2 étant lié à la dégénérescence qui fait que l'on peut mettre deux photons dans la boîte de volume V.

Dans cet espace le nombre de modes propres dont l'extrémité de k est dans la couronne sphérique de volume ${\displaystyle 4\pi k^{2}\mathrm {d} k}$ est

${\displaystyle {\frac {4\pi k^{2}\mathrm {d} k}{\Delta k_{x}\Delta k_{y}\Delta k_{z}}}={\frac {V}{\pi ^{2}}}k^{2}\mathrm {d} k={\frac {8\pi V}{c^{3}}}\nu ^{2}\mathrm {d} \nu }$

D'où le nombre d'oscillateurs par unité de volume et de fréquence (ou densité de modes)

${\displaystyle \rho _{\nu }={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}}$

Le nombre de photons par unité de volume et de fréquence est égal au nombre d'oscillateurs multiplié par le nombre de photons dans chaque mode ou nombre d'occupation moyen

${\displaystyle f_{\nu }=\rho _{\nu }n_{\nu }}$

À ce stade n_ν est inconnu.

Le nombre de photons de fréquence comprise entre ν et ν+dν traversant une surface élémentaire dS pendant le temps dt dans l'angle solide dΩ autour de la direction de propagation normale à l'élément de surface vaut

${\displaystyle \mathrm {d} N_{\nu }=f_{\nu }(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,c\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} S\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}$

Leur énergie est

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} E_{\nu }&=&h\nu \,\mathrm {d} N_{\nu }\\[0.6em]&=&c\,h\nu \,f_{\nu }(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} S\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}\\[0.6em]&=&L_{\nu }(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} S\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}\end{array}}}$

${\displaystyle L_{\nu }=c\,h\nu f_{\nu }}$ est par définition la luminance. Cette quantité n'est pas un invariant relativiste mais ${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2h\nu ^{3}}}L_{\nu }}$ l'est puisque cette quantité n'est autre que le nombre d'occupation n_ν.

La luminance obéit dans le cas hors équilibre thermodynamique à une relation cinétique analogue à l'équation de Boltzmann et qui est la base du transfert radiatif.

En introduisant l'énergie ${\displaystyle U=E\,V}$ la détente adiabatique du gaz de photons à l'équilibre thermodynamique s'écrit[5] - [6] :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} U&=&\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\mathrm {d} V\\&=&4aT^{3}V\mathrm {d} T+aT^{4}\mathrm {d} V\end{array}}}$

Par ailleurs le premier principe de la thermodynamique indique que :

${\displaystyle \mathrm {d} U=-p\mathrm {d} V=-{\frac {aT^{4}}{3}}\mathrm {d} V}$

En comparant les expressions ci-dessus il vient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{V}}=-3{\frac {\mathrm {d} T}{T}}\quad \Rightarrow \quad VT^{3}=C^{ste}}$

Pour un volume sphérique de rayon R la transformation adiabatique s'écrira donc ${\displaystyle RT=C^{ste}}$. Cette expression conduit à l'explication du fond diffus cosmologique.

L'énergie totale U vaut donc :

${\displaystyle U=C^{ste}aT}$

T décroissant dans la détente, l'énergie totale du système décroît, ceci étant lié au travail des forces de pression.

Comme pour un boson massique il est possible de produire un condensat de Bose-Einstein dans une micro-cavité optique[7]. Il faut cependant noter que dans les conditions expérimentales les photons sont confinés dans un milieu (presque) parfaitement réfléchissant qui conserve leur nombre et se comportent comme des particules massives avec potentiel chimique non nul.

• Quadrivitesse