Surface (physique)

Une surface en physique peut généralement être paramétrée par deux paramètres indépendants u et v. Pour tout point ${\displaystyle \mathrm {M} (u,v)}$ appartenant à cette surface, le vecteur position ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}$ (où O désigne une origine fixe quelconque) a pour différentielle :

${\displaystyle \mathrm {d\,{\overrightarrow {OM}}} =\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v}$.

Les vecteurs ${\displaystyle (\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial u)}$ et ${\displaystyle (\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial v)}$, indépendants presque partout, définissent le plan tangent à la surface en M. Une variation élémentaire ${\displaystyle (\mathrm {d} u,\mathrm {d} v)}$ des deux paramètres forme l'élément de surface (ou surface élémentaire) ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}}$ (ou simplement ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}}$ si l'on na pas besoin de rappeler que deux variables varient indépendamment), vecteur défini par :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}=\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial u}}\right)\wedge \left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$.

Le module d'un vecteur position s'exprimant en mètres (m), celui d'un élément de surface s’exprime en mètres carrés (m²). Sur le plan de sa grandeur d'orientation, la surface élémentaire est un pseudovecteur, donc de dimension L²·1_y.

L'analyse d'un système physique caractérisé par une surface conduit fréquemment à étudier la distribution surfacique d'une certaine grandeur physique X. Dans le cas, la surface considérée est normalement une surface matérielle, limite d'un corps physique ou interface entre deux milieux.

Une telle distribution correspond à la dérivée partielle de cette grandeur physique par rapport à l'élément de surface, c'est la limite de la valeur observée sur une certaine partie S de la surface, divisée par l'aire de cet élément, lorsque le diamètre de cet élément de surface tend vers zéro :

${\displaystyle {\partial X \over \partial S}=\lim _{\phi S\rightarrow 0}{\langle X|S\rangle \over S}}$

Si la grandeur physique X a pour dimension [X], sa distribution surfacique sera exprimée en [X].m^-2.

Inversement, si c'est la distribution surfacique Y d'une certaine grandeur X qui est connue, l'intégrale de surface sur une certaine région correspond à la quantité de X présente sur cette région :

${\displaystyle \int _{S}Y.\mathrm {d} S=\langle X|S\rangle \qquad }$ avec ${\displaystyle \quad \mathrm {d} S=\|{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}\|}$

Si la grandeur physique Y a pour dimension [Y], son intégrale surfacique sera exprimée en [Y].m². Le résultat d'une intégrale de surface est une grandeur additive, dans le sens où l'intégrale sur une surface partitionnée est la somme des intégrales sur chaque partie.

Une intégrale de surface porte souvent sur une grandeur scalaire, mais ce n'est pas une nécessité : par exemple, une portance est l'intégrale de surface (sur une aile) d'une distribution vectorielle de force.

L'intégrale de surface se fait par rapport à la norme du vecteur élément de surface.

En particulier, l'aire d'une surface donnée est l'intégrale surfacique de la fonction unité :

${\displaystyle S=\int _{S}\mathrm {d} S}$

Il convient de noter que si une surface élémentaire est un pseudovecteur défini pour chaque point (donc une grandeur intensive), l'aire d'une surface est au contraire un scalaire défini pour l'ensemble du système physique considéré, donc un scalaire extensif (de dimension L²·1₀).

L'analyse d'un champ vectoriel d'une grandeur physique conduit fréquemment à en considérer le flux à travers une certaine surface. Dans ce cas, la surface considérée n'est pas nécessairement une surface matérielle, mais peut également représenter une frontière arbitraire.

Le flux d'un champ vectoriel ${\displaystyle {\vec {X}}}$ à travers une surface S est l'intégrale sur cette surface du produit scalaire des deux vecteurs. En termes d'intégrale de surface, c'est l'intégrale au sens précédent de la projection du champ vectoriel sur la normale à la surface :

${\displaystyle \Phi _{S}=\int _{S}{\vec {X}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=\int _{S}X.\cos({\vec {X}},{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}).\mathrm {d} S}$

Si la grandeur physique vectorielle Y a pour dimension [Y], son flux sera exprimée en [Y].m². En ce qui concerne la grandeur d'orientation associée, si la grandeur physique initiale est un vecteur d'orientation 1_x, son produit par l'élément de surface d'orientation 1_y donnera une grandeur physique d'orientation 1_z, c'est-à-dire un pseudoscalaire.

Le champ vectoriel ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {X}}}$ étudié peut fréquemment être analysé comme étant le rotationnel (schématiquement, la « dérivée ») d'un champ vectoriel ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {Y}}}$ (qui schématiquement est sa « primitive »). Dans ce cas, le théorème du rotationnel relie l'intégrale volumique de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {X}}}$ à une intégrale de surface de sa « primitive » sur la frontière S de ce volume V :

${\displaystyle \iiint _{V}{\vec {X}}.\mathrm {d} V=\iint _{S}{\vec {Y}}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}\qquad }$ avec ${\displaystyle \quad {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {Y}}={\vec {X}}}$

Dans cette même configuration, le même théorème relie le flux du champ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {X}}}$ à travers une surface S à la circulation de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {Y}}}$ le long de la courbe limite C de cette surface :

${\displaystyle \iint _{S}{\vec {X}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=\oint _{C}{\vec {Y}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} \ell }}\qquad }$ avec ${\displaystyle \quad {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {Y}}={\vec {X}}}$

Les intégrales de surface précédentes permettent en particulier de calculer la surface et le volume d'objets physiques. Cependant, ces deux grandeurs physiques sont des grandeurs essentiellement positives, alors que la surface élémentaire est un pseudovecteur. Si ces formules sont appliquées sans correction conventionnelle, on obtiendra alors des surfaces ou des volumes susceptibles de prendre des valeurs négatives, suivant le choix du repère, au lieu d'être par convention toujours positif.

Pour cette raison, on convient que dans le cas d'une surface fermée délimitant un volume, l'orientation d'une surface élémentaire est toujours prise dirigée vers l'extérieur.

(en) « 2-manifolds », sur Manifold Atlas