Courbe tracée sur une surface

Introduisons ${\displaystyle v(t)}$ le projeté orthogonal de ${\displaystyle c(t)-P}$ sur le plan vectoriel ${\displaystyle T_{P}\Sigma }$. Localement, Σ est le graphe d'une fonction f définie sur le plan tangent ${\displaystyle T_{P}\Sigma }$. Pour t proche de 0, il vient : ${\displaystyle P+v(t)+f(v(t))\nu (P)=c(t)=P+tV+{\frac {t^{2}}{2}}c''(0)+o(t^{2})}$ donc ${\displaystyle f(v(t))={\frac {t^{2}}{2}}\langle c''(0)|\nu (P)\rangle +o(t^{2}){\text{ et }}v(t)=tV+o(t).}$ Or par définition de la seconde forme fondamentale, ${\displaystyle \mathrm {II} _{P}}$ est le double de la partie principale du développement limité de f en 0 à l'ordre 2. De ce fait, il vient : ${\displaystyle {\frac {t^{2}}{2}}\langle c''(0)|\nu (P)\rangle +o(t^{2})=f(v(t))={\frac {t^{2}}{2}}~\mathrm {II} _{P}(V)+o(t^{2}),}$ d'où le résultat annoncé.