Seconde forme fondamentale

Soit une surface Σ paramétrée par X(u, v). En un point P donné, le plan tangent (lorsqu'il est défini) est généré par les vecteurs tangents ${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial u}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial v}}}$, notés respectivement X_u et X_v. Le vecteur normal est défini comme étant le vecteur unitaire n colinéaire à X_u ∧ X_v. Dans le repère (P, X_u, X_v, n), si la surface est localement lisse, on peut faire un développement limité de Σ sous la forme

${\displaystyle z=\mathrm {L} {\frac {x^{2}}{2}}+\mathrm {M} xy+\mathrm {N} {\frac {y^{2}}{2}}+\varepsilon }$

et définir la forme quadratique

${\displaystyle {\mathsf {II}}=L\mathrm {d} x^{2}+2M\mathrm {d} x\mathrm {d} y+N\mathrm {d} y^{2}}$

avec

${\displaystyle \mathrm {L} ={\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial u^{2}}}\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial u\partial v}}\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathrm {N} ={\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial v^{2}}}\cdot \mathbf {n} }$

Cette forme quadratique II est appelée seconde forme fondamentale. Elle peut aussi être représentée par la matrice

${\displaystyle \mathrm {II} ={\begin{pmatrix}\mathrm {L} &\mathrm {M} \\\mathrm {M} &\mathrm {N} \end{pmatrix}}}$

Les vecteurs tangents (X_u, X_v) constituent une base du plan vectoriel tangent à Σ en P ; tout vecteur tangent peut s'écrire comme combinaison linéaire de X_u et X_v. La seconde forme fondamentale appliquée à deux vecteurs w₁ = aX_u + bX_v et w₂ = cX_u + dX_v s'écrit

II(w₁, w₂) = Lac + M(ad + bc) + Nbd

et pour un seul vecteur

II(w₁, w₁) = La² + 2Mab + Nb²

La seconde forme fondamentale s'exprime également à partir de l'opérateur de forme S et du produit scalaire :

II(w₁, w₂) = S(w₁)⋅w₂.

La courbure de Gauss K peut être calculée à partir des première et seconde formes fondamentales :

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\det \mathrm {II} }{\det \mathrm {I} }}={\frac {\mathrm {L} \mathrm {N} -\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {E} \mathrm {G} -\mathrm {F} ^{2}}}}$.

Les courbures principales sont les valeurs propres de la matrice symétrique

${\displaystyle \mathrm {II} _{uv}={\begin{pmatrix}\mathrm {II} (\mathrm {X} _{u},\mathrm {X} _{u})&\mathrm {II} (\mathrm {X} _{u},\mathrm {X} _{v})\\\mathrm {II} (\mathrm {X} _{v},\mathrm {X} _{u})&\mathrm {II} (\mathrm {X} _{v},\mathrm {X} _{v})\end{pmatrix}}}$

On considère une hypersurface d'une variété riemannienne, toutes deux étant orientées. On peut considérer le champ de vecteurs normaux unitaires n associé à l'hypersurface (c'est la généralisation de l'application de Gauss) à ces deux variétés. Il existe aussi une notion de dérivation (dérivée covariante) des vecteurs naturellement associée à la métrique de la variété ambiante : c'est la connexion de Levi-Civita notée ${\displaystyle \nabla }$.

Pour deux vecteurs v et w tangents à l'hypersurface, on pose

${\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle n,\nabla _{V}W\rangle }$,

en notant V et W des champs de vecteurs prolongeant v et w. On vérifie que l'expression obtenue ne dépend pas du prolongement effectué[1]. Le signe de la seconde forme fondamentale dépend du choix de la direction de n (la co-orientation de l'hypersurface).

On peut généraliser le concept de seconde forme fondamentale aux espaces de codimension arbitraire. Dans ce cas, c'est une forme quadratique sur l'espace tangent, à valeurs dans le fibré normal :

${\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },}$

avec ${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}$ la projection orthogonale de la dérivée covariante ${\displaystyle \nabla _{v}w}$ sur le fibré normal.

• Première forme fondamentale
• Opérateur de forme

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Second fundamental form » (voir la liste des auteurs).