Repère affine

Dans un espace affine ${\displaystyle {\mathcal {E}}=(E,V)}$ où l'espace vectoriel ${\displaystyle V}$ porte sa structure sur le corps K, un repère affine, ou repère cartésien[1], est un couple

où ${\displaystyle O}$ est un point de ${\displaystyle E}$ (appelé origine du repère), et ${\displaystyle e}$ est une base quelconque de ${\displaystyle V}$.

Tout point ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle E}$, est repéré par ses coordonnées cartésiennes dans le repère ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ : ce sont les coordonnées du vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}$ dans la base ${\displaystyle e}$ de ${\displaystyle V}$. Quand ${\displaystyle E}$ est de dimension finie n la base s'écrit ${\displaystyle e=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$ et on a :

où ${\displaystyle M_{\mathcal {R}}\in K^{n\times 1}}$ dénote les coordonnées de ${\displaystyle M}$ dans le repère ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, et ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}_{e}}$ dénote les coordonnées du vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}\in V}$ dans la base ${\displaystyle e}$.

Figure 1. Repère affine ou cartésien dans le plan.

Cette définition est légitime du fait que le choix d'un point privilégié dans ${\displaystyle E}$ permet d'établir une correspondance bijective entre l'espace des points ${\displaystyle E}$ et l'espace vectoriel ${\displaystyle V}$ (voir espace affine). L'origine étant choisie, les coordonnées des points de E sont les coordonnées des vecteurs associés par la correspondance bijective.

Pour tout couple de points A et B de E, l'égalité suivante découle immédiatement de la définition :

• ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}_{e}=B_{\mathcal {R}}-A_{\mathcal {R}}.}$

Dans un même espace affine ${\displaystyle {\mathcal {E}}=(E,V)}$ de dimension ${\displaystyle n}$, si ${\displaystyle {\mathcal {R}}=(O;e)}$ et ${\displaystyle {\mathcal {R}}'=(O';e')}$ sont deux repères différents, alors les coordonnées ${\displaystyle M_{{\mathcal {R}}'}={\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}}$ s'obtiennent à partir des coordonnées du même point ${\displaystyle M}$ mais dans le repère ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, ${\displaystyle M_{\mathcal {R}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ à l'aide des équations suivantes :

qui matriciellement s'écrivent ${\displaystyle M_{{\mathcal {R}}'}=A\cdot M_{\mathcal {R}}+B}$, où ${\displaystyle A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$ est la matrice de passage dans ${\displaystyle V}$ pour passer de la base ${\displaystyle e'}$ à la base ${\displaystyle e}$, et ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=O_{{\mathcal {R}}'}.}$

La relation entre ${\displaystyle O_{{\mathcal {R}}'}}$ et ${\displaystyle O'_{\mathcal {R}}}$ est la suivante :

Les équations de changement de repère dans l'autre sens (de ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ vers ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$) s'écrivent alors :

Tout repère affine ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ dans un espace affine ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ permet d'etablir un isomorphisme (affine) entre ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ et l'espace affine canonique ${\displaystyle A^{n}(K).}$ En effet, l'application ${\displaystyle T:{\mathcal {E}}\to A^{n}(K)}$ définie par

c'est-à-dire l'application qui associe à tout point de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ses coordonnées vues comme un élément de ${\displaystyle K^{n}}$, est une application affine bijective entre ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ et ${\displaystyle A^{n}(K),}$ telle que sa réciproque est aussi affine (${\displaystyle T}$ est un isomorphisme affine).

Tout espace affine sur un corps ${\displaystyle K}$ et de dimension n est alors isomorphe (se comporte de façon identique du point de vue d'un espace affine) à l'espace affine canonique ${\displaystyle A^{n}(K).}$ Les espaces affines à étudier sont donc simplement les espaces affines canoniques (dénotés aussi ${\displaystyle A_{n}}$) qui servent de modèles.

Dans un espace affine E, une famille (A_i)_{i ∈ I} de points de E est dite affinement libre si aucun des points A_j de la famille n'appartient au sous-espace engendré par les points restant (A_i)_{i ∈ I, i ≠ j}[3]. Il y a en fait plusieurs façons de dire qu'une famille est affinement libre, en se ramenant à l'espace vectoriel sous-jacent, ou encore en utilisant les barycentres. Ainsi une famille est affinement libre si et seulement si elle vérifie l'une des propriétés suivantes (toutes équivalentes)[4] :

• pour un j donné dans I, la famille de vecteurs :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{i}}}\right)_{i\in I,i\neq j}}$

est une famille libre;

• pour tout j dans I, la famille de vecteurs :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{i}}}\right)_{i\in I,i\neq j}}$

est une famille libre ;

• aucun des points de la famille des (A_i)_{i ∈ I} n'est barycentre des points restants ;
• un point donné de l'espace engendré par les (A_i)_{i ∈ I} a, comme barycentre des (A_i), une écriture normalisée (somme des coefficients égale à 1) unique ;
• tout point de l'espace engendré par les (A_i)_{i ∈ I} a, comme barycentre des (A_i), une écriture normalisée (somme des coefficients égale à 1) unique.

L'espace engendré par une famille (A_i)_{i ∈ I} (ou un ensemble) de points de l'espace affine E est le plus petit sous-espace affine contenant tous ces points, c'est-à-dire l'intersection de tous les sous-espaces affine contenant chacun tous les (A_i). C'est encore l'ensemble des barycentres des (A_i). Quand l'espace engendré est l'espace affine tout entier on dit aussi que la famille est génératrice. Une famille est donc génératrice si et seulement si pour un j donné dans I la famille de vecteurs :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{i}}}\right)_{i\in I,i\neq j}}$

est génératrice.

Finalement une base affine de E est une famille (A_i)_{i ∈ I} libre et génératrice, et on voit que ceci équivaut à ce que :

${\displaystyle \left({\overrightarrow {\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{i}}}\right)_{i\in I,i\neq 0}}$

est une base de l'espace vectoriel associé, c'est-à-dire que :

${\displaystyle \left(\mathrm {A} _{0};\left({\overrightarrow {\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{i}}}\right)_{i\in I,i\neq 0}\right)}$

est un repère cartésien de l'espace affine E, un repère affine au sens précédent, les deux notions étant donc intimement liées.

Tout point d'un espace affine est barycentre des points d'un repère barycentrique, la liste des coefficients barycentriques est unique à un facteur multiplicatif près (unique si on pose que la somme des coefficients doit être 1) ce sont les coordonnées barycentriques.

En dimension finie n, toutes les bases affines ont même cardinal n + 1, toutes les familles affinement libres ont un cardinal au plus égal à n + 1, toutes les familles génératrices ont un cardinal au moins égal à n + 1. Ces propriétés se déduisent de celles analogues pour les bases, famille libre et famille génératrice vectorielles par les équivalences des paragraphes précédents.

En particulier une base affine est une famille libre de n + 1 points, soit (A₀, ... , A_n) vérifiant l'une des conditions du paragraphe #Famille affinement libre. Ainsi :

• une base affine d'une droite affine est constituée de 2 points distincts de celle-ci ;
• une base affine d'un plan affine est constituée de 3 points non alignés ;
• une base affine d'un espace affine de dimension 3 est constitué de 4 points non coplanaires.

• Base orthonormale
• Coordonnées cartésiennes

• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie, Paris, Hermann, 1996, 408 p. (ISBN 2-7056-1437-0).
• Yves Ladegaillerie, Géométrie : affine, projective, euclidienne et anallagmatique, Paris, Ellipses, 2003, 515 p. (ISBN 2-7298-1416-7).
• Jacqueline Lelong-Ferrand, Fondements de la géométrie, Paris, PUF, 1985, 287 p. (ISBN 2-13-038851-5).