Coordonnées barycentriques

Une famille finie (P₀,…,P_k) de points d'un espace affine E est dite affinement libre, ou encore ces points sont dits affinement indépendants, quand aucun des points P_i n'appartient au sous-espace affine engendré par les k autres points. Dans le cas contraire il est dit affinement lié. Par exemple deux points distincts forment une famille affinement libre, de même 3 points non alignés, et 4 points non coplanaires[1].

De façon équivalente une famille finie (P₀,…,P_k) est affinement libre quand l'une des conditions suivantes est réalisée :

• aucun des points P_i n'est barycentre des autres points ;
• la famille de vecteurs ${\displaystyle \left({\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},\dots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{k}}}\right)}$ est libre (ou la condition analogue en prenant n'importe lequel des P_i comme origine).

Il suit de la seconde condition et des propriétés des familles libres des espaces vectoriels qu'une famille affinement libre d'un espace affine de dimension finie n est d'ordre au plus n + 1. On appelle alors base affine (et très souvent repère affine) une famille affinement libre maximale, et la seconde condition devient :

(P₀,…,P_n) est une base affine de l'espace affine E si et seulement si ${\displaystyle \left({\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},\dots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{n}}}\right)}$ est une base vectorielle de la direction de E, c'est-à-dire si et seulement si P₀ muni de cette famille de vecteurs est un repère affine (très souvent appelé un repère cartésien) de E.

Une base affine d'un espace affine E de dimension finie n est donc une famille affine libre (P₀,…,P_n) de n + 1 points. Ainsi 2 points distincts d'une droite forment une base affine de celle-ci, 3 points non alignés d'un plan forment une base affine de ce plan, 4 points non coplanaires d'un espace de dimension 3 une base de celui-ci, etc.

L'espace affine engendré par (P₀,…,P_n), c'est-à-dire le plus petit sous-espace affine contenant ces points, est l'espace affine E tout entier si ces points forment une base affine de E.

L'isobarycentre G des 3 points non alignés (A,B,C) a pour coordonnées barycentriques dans ce repère du plan (1,1,1) ou, en coordonnées normalisées, (1/3, 1/3, 1/3).

Soit (P₀,…,P_n) une base affine, encore appelée repère barycentrique ou encore repère affine d'un espace affine E. Alors, tout point M de l'espace affine peut s'écrire comme un barycentre des points du repère, c'est-à-dire qu'il existe n + 1 scalaires ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$ vérifiant :

${\displaystyle \lambda _{0}{\overrightarrow {MP_{0}}}+\lambda _{1}{\overrightarrow {MP_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {MP_{n}}}={\overrightarrow {0}}}$

avec ${\displaystyle \lambda _{0}+\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}\neq 0}$

et de plus deux systèmes de scalaires vérifiant ceci sont multiples l'un de l'autre.

On appelle alors coordonnées barycentriques, ou coefficients barycentriques, du point M un tel système de « poids » ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$, et les coordonnées barycentriques de M ne sont pas uniques, mais seulement uniques à un coefficient multiplicateur non nul près. Elles peuvent être définies de manière unique en fixant la somme des coordonnées à 1 : de telles coordonnées sont dites normalisées.

Les coordonnées barycentriques sont parfois notées, surtout dans les textes anglais : ${\displaystyle (\lambda _{0}:\lambda _{1}:\dots$ :\lambda _{n})} , notation représentant la classe d'équivalence dans l'espace projectif ${\displaystyle P_{n}(K)}$ de ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$. Ce qui permet d'écrire par exemple ${\displaystyle \left({\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}\right)=\left(bc:ca:ab\right)}$.

Soit ABC un triangle non plat, c'est-à-dire que (A, B, C) est un repère barycentrique. Alors un point quelconque du plan du triangle P, a pour coordonnées les trois déterminants suivants (relatifs à une base quelconque du plan) :

${\displaystyle \alpha =\det \left({\overrightarrow {PB}},{\overrightarrow {PC}}\right),\ \beta =\det \left({\overrightarrow {PC}},{\overrightarrow {PA}}\right),\ \gamma =\det \left({\overrightarrow {PA}},{\overrightarrow {PB}}\right)}$

c'est-à-dire que :

${\displaystyle \alpha {\overrightarrow {PA}}+\beta {\overrightarrow {PB}}+\gamma {\overrightarrow {PC}}={\overrightarrow {0}}}$

avec :

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\det \left({\overrightarrow {PB}},{\overrightarrow {PC}}\right)+\det \left({\overrightarrow {PC}},{\overrightarrow {PA}}\right)+\det \left({\overrightarrow {PA}},{\overrightarrow {PB}}\right)=\det \left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}\right)\neq 0}$.

Si la base choisie est ${\displaystyle \left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}\right)}$, les réels α, β, γ sont alors les coordonnées normalisées de P, vérifiant

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =1}$

et ces coordonnées normalisées s'interprètent comme des rapports d'aires algébriques de la façon suivante :

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha ={\frac {Aire(PBC)}{Aire(ABC)}}\\\beta ={\frac {Aire(APC)}{Aire(ABC)}}\\\gamma ={\frac {Aire(ABP)}{Aire(ABC)}}.\end{cases}}}$

En géométrie réelle, l'aire géométrique usuelle est la valeur absolue de l'aire algébrique. Le résultat vaut pour l'aire géométrique si le point est à l'intérieur du triangle. S'il est à l'extérieur, les signes des coefficients dépendent de l'orientation des triangles considérés (positif si l'orientation est la même que celle du triangle ABC, négative dans le cas contraire, voir schéma).

En géométrie euclidienne, une autre façon de calculer les coordonnées barycentriques d'un point P consiste à considérer les angles orientés :

${\displaystyle x={\widehat {BPC}},\,y={\widehat {CPA}},\,z={\widehat {APB}}}$.

Alors les coordonnées barycentriques de P sont[4] :

${\displaystyle {\frac {1}{\cot A-\cot x}},\,{\frac {1}{\cot B-\cot y}},\,{\frac {1}{\cot C-\cot z}}}$.

• Coordonnées barycentriques (astronomie)
• Fonction de Leibniz, Combinaison barycentrique
• Diagramme ternaire
• Coordonnées trilinéaires

• Les coordonnées barycentriques des points remarquables dans un triangle sur le site Math Web.
• Cours sur les coordonnées barycentriques par Jean-Louis Tu, dans le cadre de la préparation aux Olympiades de mathématiques.
• Méthodes de détermination d'appartenance d'un point à un triangle avec les coordonnées barycentriques.