Équations de Gauss-Codazzi

Soit i : M ⊂ P une sous-variété n-dimensionnelle plongé d'une variété Riemannienne P de dimension n+p. Il existe une inclusion naturelle du fibré tangent de M dans celui de P, et le conoyau est le fibré normal de M :

${\displaystyle 0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.}$

La métrique donne suite exacte suivante :

${\displaystyle TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.}$

Suivant cette suite, la connexion de Levi-Civita ∇′ de P se décompose en une composante tangentielle et une composante normale. Pour chaque X ∈ TM et champ de vecteur Y sur M,

${\displaystyle \nabla '_{X}Y=\top (\nabla '_{X}Y)+\bot (\nabla '_{X}Y).}$

Soit

${\displaystyle \nabla _{X}Y=\top (\nabla '_{X}Y),\quad \alpha (X,Y)=\bot (\nabla '_{X}Y).}$

La formule de Gauss[4] assure alors que ∇_X est la connexion de Levi-Civita pour M, et α est une forme différentielle vectorielle symétrique à valeurs dans le fibré normal.

Un corollaire immédiat est l'équation de Gauss. Pour X, Y, Z, W ∈ TM,

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle }$

où R′ est le tenseur de courbure de P et R est celui de M.

L'équation de Weingarten est un analogue de la formule de Gauss pour une connexion dans le fibré normal. Soit X ∈ TM et ξ un champ de vecteurs normaux. On décompose alors la dérivée covariante de ξ sur X en composantes normales et tangentielles :

${\displaystyle \nabla _{X}\xi =\top (\nabla _{X}\xi )+\bot (\nabla _{X}\xi )=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).}$

Alors

1. Équations de Weingarten : ${\displaystyle \langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle }$
2. D_X est une connexion métrique (en) dans le fibré normal.

Il y a donc un couple de connexions : ∇, définie sur le fibré tangent de M; et D, défini sur le fibré normal de M. Ces deux se combinent pour donner une connexion sur n'importe quel produit tensoriel de TM et T^⊥M. En particulier, elles définissent entièrement la dérivée covariante de α :

${\displaystyle ({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha )(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha (\nabla _{X}Y,Z)-\alpha (Y,\nabla _{X}Z).}$

L'équation de Codazzi-Mainardi donne

${\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha )(Y,Z)-({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha )(X,Z).}$

En géométrie différentielle classique, les équations de Codazzi-Mainardi sont généralement exprimées avec la seconde forme fondamentales :

${\displaystyle e_{v}-f_{u}=e\Gamma _{12}^{1}+f(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-g\Gamma _{11}^{2}}$

${\displaystyle f_{v}-g_{u}=e\Gamma _{22}^{1}+f(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-g\Gamma _{12}^{2}}$

Les dérivées secondes d'une surface paramétrée (en) peuvent s'exprimer dans la base ${\displaystyle (X_{u},X_{v},N)}$ ainsi que les symboles de Christoffel et la seconde forme fondamentale.

${\displaystyle X_{uu}=\Gamma _{11}^{1}X_{u}+\Gamma _{11}^{2}X_{v}+eN}$

${\displaystyle X_{uv}=\Gamma _{12}^{1}X_{u}+\Gamma _{12}^{2}X_{v}+fN}$

${\displaystyle X_{vv}=\Gamma _{22}^{1}X_{u}+\Gamma _{22}^{2}X_{v}+gN}$

Le théorème de Schwarz énonce que les dérivées partielles suivantes commutent :

${\displaystyle \left(X_{uu}\right)_{v}=\left(X_{uv}\right)_{u}}$

Si l'on différentie ${\displaystyle X_{uu}}$ par rapport à v et ${\displaystyle X_{uv}}$ par rapport à u, on obtient :

${\displaystyle \left(\Gamma _{11}^{1}\right)_{v}X_{u}+\Gamma _{11}^{1}X_{uv}+\left(\Gamma _{11}^{2}\right)_{v}X_{v}+\Gamma _{11}^{2}X_{vv}+e_{v}N+eN_{v}=\left(\Gamma _{12}^{1}\right)_{u}X_{u}+\Gamma _{12}^{1}X_{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}X_{v}+\Gamma _{12}^{2}X_{uv}+f_{u}N+fN_{u}}$

Si on substitue ensuite les expressions ci-dessus pour les dérivées secondes et qu'on égale les coefficients de N :

${\displaystyle f\Gamma _{11}^{1}+g\Gamma _{11}^{2}+e_{v}=e\Gamma _{12}^{1}+f\Gamma _{12}^{2}+f_{u}}$

en réarrangeant les termes, on retrouve la première équation de Codazzi-Mainardi.