Bouteille de Klein

La bouteille de Klein n'est possible à représenter dans l'espace ℝ³ (l'espace à 3 dimensions) que si l'on accepte qu'elle se traverse elle-même ; aussi, aucune réalisation que l'on peut voir de la bouteille de Klein n'est « exacte ». Dans ℝ⁴, il est par contre possible de la réaliser sans auto-intersection (mathématiquement, on dit qu'elle possède un plongement (immersion injective) de classe C^∞ dans ℝ⁴).

Voici un plan de montage dans ℝ³. À partir du carré initial, on colle les deux bords rouges l'un contre l'autre, dans le sens des flèches. La figure obtenue est un cylindre, dont on veut identifier les deux bords à l'aide des flèches bleues. Pour respecter le sens de ces flèches, il est nécessaire de retourner l'un des cercles avant de le recoller à l'autre, et pour cela, d'opérer une auto-intersection.

Si les deux segments bleus étaient orientés de la même façon, le recollement des segments opposés donnerait un tore. Si au contraire, les deux segments rouges étaient orientés en sens inverse comme les deux segments bleus, le recollement des segments opposés donnerait un plan projectif.

Autre méthode de construction

La bouteille de Klein peut aussi être obtenue par recollement de deux rubans de Möbius le long de leurs bords. De manière équivalente, la bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs.

On se donne deux exemplaires d'un tel carré, et on obtient deux exemplaires de ruban de Möbius en faisant cette fois d'abord l'identification suivant les flèches bleues. Chacun de ces rubans a alors un seul bord : les côtés verticaux rouges qui ont été connectés à la suite de l'identification précédente ; recoller les deux rubans suivant leurs bords peut alors être considéré comme équivalent à recoller le bord droit du second carré, au bord gauche du premier, et vice-versa. On voit aisément qu'on retrouve alors bien le cylindre, mais avec l'identification des bords bleus déjà effectuée, c'est-à-dire la bouteille de Klein.

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Bouteille de Klein séparée selon son plan de symétrie en deux bandes de Möbius.

Il est peut-être plus facile de voir qu'une bouteille de Klein coupée en deux dans le sens de la hauteur fournit bien deux rubans de Möbius.

Il est possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein à partir de la représentation fournie dans cet article, et au prix d'un effort intellectuel moins important que ce que l'on pourrait croire.

Imaginons un individu vivant dans un monde plat, à 2 dimensions. On essaye alors d'expliquer à l'individu ce qu'est un nœud. Pour cela, on lui dessine un nœud sur le plan : il ne voit qu'une courbe qui s'auto-intersecte. On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersection qu'il voit, mais que la courbe passe « dessus » et « dessous ». Notre individu est interloqué : vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni ce qu'est le dessous. Il lui manque une dimension (le haut et le bas) pour pouvoir visualiser le nœud.

Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons de visualiser la bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'auto-intersecte. Néanmoins, si nous raisonnons avec une quatrième dimension, il suffit d'imaginer qu'à cet endroit, la bouteille passe « dessus » et « dessous » au sens de cette quatrième dimension, et donc ne s'auto-intersecte pas.

On peut en quelque sorte considérer que la bouteille de Klein est une surface qui fait un « nœud ». En tant que surface (objet à 2 dimensions), il lui faut 4 dimensions pour faire un nœud, de même que pour une courbe (objet à une dimension) il faut 3 dimensions pour faire un nœud.

La paramétrisation de l'immersion dans trois dimensions de la bouteille de Klein vue précédemment s'obtient comme suit : ${\displaystyle u}$ est un paramètre qui suit le corps de la bouteille tandis que ${\displaystyle v}$ évolue le long de sa section.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&{\frac {{\sqrt {2}}\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi ^{2}u-16\pi ^{3}\right)\cos \left(v\right)\left(\cos \left(u\right)\left(3\cos ^{2}\left(u\right)-1\right)-2\cos \left(2u\right)\right)}{80\pi ^{3}{\sqrt {8\cos ^{2}\left(2u\right)-\cos \left(2u\right)\left(24\cos ^{3}\left(u\right)-8\cos \left(u\right)+15\right)+6\cos ^{4}\left(u\right)\left(1-3\sin ^{2}\left(u\right)\right)+17}}}}-{\frac {3\cos \left(u\right)-3}{4}}\\y&=&-{\frac {\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi ^{2}u-16\pi ^{3}\right)\sin v}{60\pi ^{3}}}\\z&=&-{\frac {{\sqrt {2}}\left(20u^{3}-65\pi u^{2}+50\pi ^{2}u-16\pi ^{3}\right)\sin u\,\cos v}{15\pi ^{3}{\sqrt {8\cos ^{2}\left(2u\right)-\cos \left(2u\right)\left(24\cos ^{3}\left(u\right)-8\cos \left(u\right)+15\right)+6\cos ^{4}\left(u\right)\left(1-3\sin ^{2}u\right)+17}}}}+{\frac {\sin \left(u\right)\cos ^{2}\left(u\right)+\sin u}{4}}-{\frac {\sin u\,\cos u}{2}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\text{avec}}\quad 0\leq u<2\pi \quad {\text{et}}\quad 0\leq v<2\pi .}$

L'immersion « en 8 » de la bouteille de Klein.

Cylindre à base en 8, courbé avant d'être recollé en bouteille de Klein.

Une paramétrisation plus simple s'obtient de la façon suivante, donnant une immersion en « 8 » de la bouteille de Klein. Elle consiste à prendre une courbe en forme de 8 dans un plan vertical, et à lui faire effectuer un tour complet autour de l'axe Oz pendant que le 8 lui-même effectue un demi-tour. Cette construction est comparable à celle du ruban de Möbius, où le segment pivotant est remplacé par le 8. La bouteille de Klein est alors formée à partir d'un cylindre dont la base est en forme de 8, les deux bases opposées étant recollées de façon compatible avec leur orientation.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u\\y&=&\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u\\z&=&\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v\end{array}}}$

Dans cette immersion, l'auto-intersection est un cercle inscrit dans le plan Oxy. La constante positive ${\displaystyle r}$ est le rayon de ce cercle. Le paramètre ${\displaystyle u}$ donne l'angle dans le plan Oxy et ${\displaystyle v}$ est un paramètre définissant la section de la figure en forme de 8.

• La bouteille de Klein est la somme connexe de deux plans projectifs réels.
• En la coupant en deux par rapport à son plan de symétrie, on obtient deux fois un ruban de Möbius.
• Sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle.
• Ses nombres de Betti non nuls sont b₀ = 1 et b₁ = 1.
• Son nombre chromatique est 6.
• Son groupe fondamental (qu'on peut calculer[4] en considérant la bouteille comme un CW-complexe, ou comme un quotient du plan ou du tore, ou comme l'espace total d'une fibration en cercles sur le cercle) est le produit semi-direct de ℤ par lui-même donné par la présentation 〈a, b | aba⁻¹b〉.
• D'après le théorème d'Hurewicz, son premier groupe d'homologie en est l'abélianisé. C'est donc le produit direct ℤ×ℤ₂.
• La bouteille de Klein possède un revêtement orientable à deux feuillets, difféomorphe au tore.

Réalisation de l'immersion de la bouteille de Klein, en verre.

• La bouteille de Klein fait l'objet d’un chapitre (XII) dans La Potière jalouse de Claude Lévi-Strauss (édition Plon 1985) : interprétations psychanalytiques et champ sémantique des orifices corporels.
• Une des devises shadoks (« s’il n’y a pas de solution c’est qu’il n’y a pas de problème ») comporte une bouteille de Klein dans son illustration, elle symbolise un problème impossible à résoudre.
• Dans le dessin animé Futurama, une marque de bière, « Klein’s Beer », est vendue dans des bouteilles de Klein.
• Dans le jeu vidéo NetHack, tenter de verser une potion dans elle-même produit le message suivant : « That is a potion bottle, not a Klein bottle! » (« C’est une bouteille de potion, pas une bouteille de Klein ! »)
• Dans le jeu Magic: The Gathering, une carte s'appelle « Elkin Bottle »[5] (Ère Glaciaire, en 1995) en hommage à Richard Garfield, inventeur du jeu et mathématicien de son état. Les concepteurs ont transformé le nom, « Elkin » étant une anagramme de « Klein ».
• Dans le musée du quai Branly, l'image de la bouteille de Klein était explicitement citée dans un panneau pour expliquer la vision de la sexualité dans les civilisations dites primitives. L'homme parfait est perçu comme un individu dont les parties reproductives se confondent avec l'intérieur de la bouche si bien que cet homme n'a ni intérieur ni extérieur. Pour appuyer le discours, le visiteur pouvait remarquer la présence de la bouteille de Klein en verre (voir photo ci-contre). Ce panneau n'est plus visible au musée actuellement.
• Dans le roman Le Sixième Sommeil de Bernard Werber, la bouteille de Klein est une des manières pour le héros, Jacques Klein, de pénétrer dans une nouvelle dimension du sommeil.
• En 2014, l'artiste Gary Hill réalise Klein Bottle with the Image of Its Own Making (after Robert Morris) consistant en une bouteille de Klein transparente posée sur un socle dans laquelle est projeté une vidéo faisant référence au titre[6].
• Dans son installation Bonbons très bons[7] de 1993, l'artiste français Fabrice Hybert a intégré une bouteille de Klein en verre dont une partie reprend la forme d'un estomac.
• Dans la sixième partie du manga JoJo's Bizarre Adventure, Stone Ocean, l'antagoniste Enrico Pucci fait référence à la bouteille de Klein et au ruban de Möbius.
• Nommé une fois par Ritsuko Akagi, la chef scientifique de la NERV, dans l'épisode 20 de Neon Genesis Evangelion « Forme du cœur, miroir des gens ».