Groupe fondamental

Soit X un espace topologique. Un arc continu est une application continue γ : [0 1] → X.

Soit p un point fixé dans X. Un lacet basé en p est un arc continu vérifiant de plus γ(0) = γ(1) = p. Il peut s'interpréter comme une application continue du cercle unité S¹ dans X qui envoie 1 sur p.

Deux lacets γ₀ et γ₁ sont dits homotopes s'il existe une homotopie de l'un vers l'autre, c'est-à-dire une application continue H : [0 1]² → X telle que :

• ${\displaystyle \forall t\in [0,1],\,H(t,0)=\gamma _{0}(t)}$
• ${\displaystyle \forall t\in [0,1],\,H(t,1)=\gamma _{1}(t)}$
• ${\displaystyle \forall x\in [0,1],\,H(0,x)=p=H(1,x).}$

La dernière condition exprime que pour x fixé entre 0 et 1, t ↦ H(t, x) est un lacet basé en p.

Autrement dit, deux lacets sont dits homotopes si l'on peut passer continument de l'un à l'autre, à l'image de la figure de droite (le point p est situé en A sur la figure).

Le fait d'être homotopes est une relation d'équivalence entre lacets (basés en p). On notera [γ] la classe d'équivalence d'un lacet γ (aussi appelée classe d'homotopie)[4].

L'ensemble π₁(X, p) de ces classes d'équivalences s'identifie à l'ensemble des composantes connexes par arcs de l'espace des lacets basés en p de X (muni de la topologie compacte-ouverte)[5], noté Ω(X, p), et la structure de groupe dont on va le munir ci-dessous provient en fait de la structure de H-groupe de Ω(X, p)[6] :

${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{0}(\Omega (X,p)).}$

Composé du lacet bleu et du lacet rouge.

On souhaite donner une structure de groupe à cet ensemble π₁(X, p). Si f et g sont deux lacets de X (basés en p), leur juxtaposition[7] - [8] ou composition[9] est le lacet h appelé lacet composé[10] de f et de g ou lacet produit[11] fg, défini par :

${\displaystyle h(t)=\left\{{\begin{matrix}f(2t),&{\mbox{si }}t\in [0,1/2]\\g(2t-1),&{\mbox{si }}t\in [1/2,1]\end{matrix}}\right.}$

Intuitivement, c'est le lacet qui parcourt f puis g (chacun deux fois plus rapidement, pour arriver à parcourir le lacet en un temps unité). On notera fg le composé de f et de g. On peut prouver que la classe d'homotopie [fg] ne dépend que de la classe d'homotopie de f, et de celle de g. Ainsi, on peut définir une loi de composition interne sur l'ensemble π₁(X, p) des classes d'homotopie des lacets basés en p de X, par [f][g] = [fg], encore appelée juxtaposition[12].

On peut alors prouver que l'on obtient une structure de groupe sur l'ensemble π₁(X, p) :

• la loi de juxtaposition est associative car les lacets (fg)h et f(gh) sont homotopes,
• l'élément neutre est la classe d'homotopie [γ] du lacet trivial γ défini par γ(t) = p pour tout t.
• L'inverse d'un lacet f est simplement le même lacet, mais parcouru dans l'autre sens, c'est-à-dire défini par f⁻¹(t) = f(1 – t).

Le groupe ainsi obtenu est appelé groupe fondamental[4] ou groupe de Poincaré[13] - [14] - [2] ou premier groupe d'homotopie[2] de X basé en p, et est noté π₁(X, p).

Si X est un groupe topologique (ou plus généralement un H-espace) d'élément neutre p, le groupe π₁(X, p) est abélien et le lacet composé fg est homotope au lacet produit t ↦ f(t)g(t)[15].

Examinons le cas particulier où l'espace topologique X est connexe par arcs. Deux groupes fondamentaux basés en deux points p et q (π₁(X, p) et π₁(X, q)) sont isomorphes. En effet, il existe un chemin γ allant de p à q. On peut donc définir l'application suivante

${\displaystyle [\alpha ]\mapsto [\gamma ][\alpha ][\gamma ]^{-1}}$

qui réalise visiblement un isomorphisme du groupe fondamental π₁(X, q) vers le groupe fondamental π₁(X, p) dont l'isomorphisme réciproque est l'application :

${\displaystyle [\alpha ]\mapsto [\gamma ]^{-1}[\alpha ][\gamma ]}$

Ainsi, si X est connexe par arcs, par abus de langage, on parle du groupe fondamental (à un isomorphisme non unique près) de l'espace topologique X, sans préciser le point base[16], que l'on note π₁(X) = π₁(X, p). Cependant, l'isomorphisme entre les groupes π₁(X, p) et π₁(X, q) n'est pas unique et dépend du choix d'un chemin entre p et q . Ainsi on doit se souvenir que le groupe fondamental varie lorsque le point base varie dans l'espace X, les groupes restant toujours isomorphes.

Si X n'est pas connexe par arcs, les groupes fondamentaux de deux composantes connexes, sont différents. Par abus de langage, on parle néanmoins du groupe fondamental d'une composante connexe par arcs, sans préciser le point base, mais on doit se souvenir que le groupe fondamental varie lorsque le point base varie dans la composante connexe par arcs, les groupes restant toujours isomorphes.

Un espace connexe par arcs de groupe fondamental trivial est dit simplement connexe.

Par exemple tout espace contractile (c'est-à-dire qui se rétracte par déformation sur un point) en particulier tout convexe de ℝⁿ, est simplement connexe. La sphère Sⁿ pour n ≥ 2 est aussi simplement connexe.

Le terme de cercle désigne ici un espace homéomorphe à un cercle du plan euclidien, comme le groupe topologique quotient ℝ/ℤ ou comme le cercle unité S¹ des nombres complexes de module 1.

• Le groupe fondamental du cercle est isomorphe au groupe ℤ des nombres entiers.

(C'est un cas particulier des groupes d'homotopie des sphères : π_n(Sⁿ) = ℤ.)

On considère ici π₁(S¹, 1), c'est-à-dire que le point de base est 1. On définit un morphisme de groupes μ de ℤ dans π₁(S¹, 1) qui, à chaque entier m, associe la classe d'un lacet e_m qui fait |m| tours, dans le sens trigonométrique si m est positif, et dans le sens inverse sinon : ${\displaystyle e_{m}:[0,1]\rightarrow S^{1}\quad e_{m}(t)=\exp(2\mathrm {i} \pi mt).}$ C'est bien un morphisme car le lacet composé e_me_n est homotope au lacet produit, égal à e_m+n. Pour établir qu'il est bijectif, il faut montrer que le « nombre de tours » est bien défini pour tout lacet et ne dépend que de sa classe d'homotopie, et que tout lacet qui fait m tours est homotope à e_m.

Détail des calculs[17]

Le problème est de construire un inverse pour ${\displaystyle \mu }$ :

${\displaystyle \nu$ :\pi _{1}(S^{1})\to \mathbb {Z} .}

On définit pour cela une application p par :

${\displaystyle p:\mathbb {R} \rightarrow S^{1}\quad p(t)=\exp(2\mathrm {i} \pi t).}$

Pour établir un lemme, nécessaire à la démonstration, une remarque est utile. La restriction de e₁ à l'intervalle ]–1/2, 1/2[ est un homéomorphisme à valeurs dans S¹\{–1} ; il est illustré sur la figure de droite. Le caractère bijectif est évident, la restriction est continue et son inverse σ est continu car défini par :

${\displaystyle \forall z\in S^{1}\setminus \{-1\},\;z=x+iy\quad \sigma (z)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {y}{1+x}}\right)}$

• Théorème de relèvement : Soit α : [0, 1] → S¹ une application continue telle que α(0) = 1. Il existe une unique application continue β : [0, 1] → ℝ telle que β(0) = 0 et p ∘ β = α :

Établissons l'unicité de β. Soient β₁ et β₂ deux applications qui vérifient la proposition. Leur différence est nulle car continue, nulle en 0, définie sur un connexe et à valeurs dans un ensemble discret (en l'occurrence ℤ).

Montrons son existence. Si α est à valeurs dans S¹\{–1}, le fait que σ soit un homéomorphisme permet de conclure. Si ce n'est pas le cas, on procède par « découpage » de l'intervalle [0, 1]. L'application α est définie sur un compact et est continue ; elle est donc uniformément continue, ce qui montre l'existence d'un réel strictement positif r tel que :

${\displaystyle \forall t_{1},t_{2}\in [0,1]\quad |t_{1}-t_{2}|<r\Rightarrow |\alpha (t_{1})-\alpha (t_{2})|<2{\text{ ou encore }}\left|{\frac {\alpha (t_{2})}{\alpha (t_{1})}}-1\right|<2{\text{ car }}|\alpha (t_{1})|=1.}$

Autrement dit, si ${\displaystyle t_{2}}$ ne s'éloigne de ${\displaystyle t_{1}}$ de strictement moins que ${\displaystyle r}$, le rapport ${\displaystyle \alpha (t_{2})/\alpha (t_{1})}$ n'atteint jamais la valeur -1 sur laquelle ${\displaystyle \sigma }$ n'est pas définie. Cette propriété permet de définir la fonction ${\displaystyle \beta }$ par étapes. Soit M un entier strictement positif tel que 1/M soit strictement plus petit que ${\displaystyle r}$. Sur l'intervalle [0, 1/M], on définit la fonction ${\displaystyle \beta }$ comme égale à ${\displaystyle \sigma o\alpha }$. On dispose des égalités

${\displaystyle \forall t\in [0,1/M]\quad \beta (t)=\sigma \circ \alpha (t)\quad {\text{et}}\quad p\circ \beta (t)=\alpha (t)}$

Soit k un entier compris entre 1 et ${\displaystyle M-1}$, et ${\displaystyle \alpha _{k}=\alpha (k/M)^{-1}}$. Sur l'intervalle [k/M, (k + 1)/M], la fonction qui à t associe ${\displaystyle \alpha _{k}.\alpha (t)}$ vaut 1 en k/M et ses images ne quittent jamais le domaine de définition de ${\displaystyle \sigma }$. Cette situation est illustrée sur la figure de droite, sur chaque segment, le lacet est illustré d'une couleur différente, aucun segment ne s'éloigne d'exactement un demi-tour du point d'origine. Ce qui permet de définir ${\displaystyle \beta }$ sur cet intervalle par :

${\displaystyle \forall t\in [k/M,(k+1)/M]\quad \beta (t)=\sigma \left(\alpha _{k}\alpha (t)\right)+\beta (k/M)}$

Par construction, la fonction ${\displaystyle \beta }$ est continue et vérifie bien par, récurrence sur k, l'égalité recherchée :

${\displaystyle \forall t\in [k/M,(k+1)/M]\quad p\circ \beta (t)=p\circ (\sigma \left(\alpha _{k}\alpha (t)\right))\cdot p\circ \beta (k/M)=\alpha _{k}\alpha (t)\alpha (k/M)=\alpha (t).}$

On suppose maintenant que ${\displaystyle \alpha }$ est un lacet. On définit l'application ${\displaystyle \nu }$ comme celle qui à ${\displaystyle \alpha }$ associe l'extrémité ${\displaystyle \beta (1)}$, qui correspond intuitivement au nombre de tours effectué par ${\displaystyle \alpha }$. Comme ${\displaystyle \alpha (1)}$ est égal à 1, ${\displaystyle \nu (\alpha )}$ est un entier.

Encore faut-il montrer que l'application ${\displaystyle \nu }$ est compatible avec l'homotopie. Un premier lemme est utile.

• Si deux lacets α₁ et α₂ de S¹ de base 1 vérifient la majoration suivante, ils ont même image par ${\displaystyle \nu }$ :

${\displaystyle \forall t\in [0,1]\quad |\alpha _{1}(t)-\alpha _{2}(t)|<2}$

On considère l'application quotient ${\displaystyle \alpha _{c}=\alpha _{1}/\alpha _{2}}$. Son image est incluse dans S¹\{–1}, c'est-à-dire le domaine de définition de ${\displaystyle \sigma }$. Par unicité du relèvement, on en déduit, avec les notations usuelles :

${\displaystyle \beta _{1}-\beta _{2}=\beta _{c}=\sigma \circ \alpha _{c}}$

en particulier

${\displaystyle \nu (\alpha _{1})-\nu (\alpha _{2})=\beta _{1}(1)-\beta _{2}(1)\in \mathbb {Z} \cap {\rm {im}}(\sigma )=\mathbb {Z} \cap \left]-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right[=\{0\}.}$

• Soient α₁ et α₂ deux lacets de S¹ de base 1 et homotopes. Ils ont même image par ${\displaystyle \nu }$ :

Soit H une homotopie de lacets de base 1 de ${\displaystyle \alpha _{1}}$ à ${\displaystyle \alpha _{2}}$. L'application H, continue sur le compact [0, 1]², est uniformément continue. Il existe donc un entier M tel que :

${\displaystyle \forall k\in \{1,\cdots M\},\;\forall t\in [0,1]\quad |H(t,(k-1)/M)-H(t,k/M)|<2}$

D'après le lemme précédent, les lacets H( ,0/M), H( ,1/M), H( ,2/M), … , H( ,M/M) ont tous même image par ${\displaystyle \nu }$. Le premier et le dernier sont α₁ et α₂.

• Conclusion :

On a bien défini une application ${\displaystyle \nu }$ de π₁(S¹, 1) dans ℤ, vérifiant par construction ${\displaystyle \nu \circ \mu ={\rm {id}}_{\mathbb {Z} }}$. Il reste encore à montrer que ${\displaystyle \mu \circ \nu ={\rm {id}}_{\pi _{1}(S^{1})}}$. Soient ${\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(S^{1})}$ et ${\displaystyle m=\nu ([\alpha ])=\beta (1)}$. L'application (t, x) ↦ p((1 – x)β(t) + xmt) réalise alors une homotopie de α à e_m.

La non-trivialité du groupe fondamental du cercle est à l'origine de plusieurs démonstrations de théorèmes non triviaux. Un exemple est celui de Borsuk-Ulam qui indique qu'une application continue de la sphère dans le plan possède toujours deux points antipodaux ayant même image. Ce résultat est la clé de la démonstration du théorème du sandwich au jambon qui indique qu'il existe toujours un plan qui divise en deux parties de volumes égaux trois solides bornés et mesurables.

Si (X_i) est une famille d'espaces connexes par arcs, l'espace produit X = ∏X_i est aussi connexe par arcs donc son groupe fondamental est indépendant du point base choisi dans X. De plus :

Le groupe fondamental de l'espace produit ∏X_i est le produit direct des groupes fondamentaux des X_i.

Cela résulte immédiatement de la propriété universelle du produit : la donnée d'une application continue de Y dans ∏X_i équivaut à celle d'une famille d'applications continues de Y dans chaque X_i, pour tout espace Y, en particulier pour S¹ et S¹ × [0, 1].

Par exemple, le groupe fondamental du n-tore Tⁿ = (S¹)ⁿ est isomorphe au groupe abélien libre ℤⁿ.

• Le groupe fondamental peut contenir des éléments de torsion : par exemple, le groupe fondamental du plan projectif réel P₂(ℝ) est isomorphe à ℤ/2ℤ (voir plus bas).
• Le groupe fondamental n'est pas toujours commutatif : par exemple, le groupe fondamental basé en un point p du plan privé de deux points ℝ²\{a, b}, est isomorphe au groupe libre à deux générateurs F₂. Les deux générateurs sont ici des lacets partant de p et faisant chacun le tour d'un des points a ou b.

Théorème

Pour tout groupe G, il existe un espace topologique de groupe fondamental G. On peut en fait trouver un CW-complexe de dimension 2 ou même une variété de dimension 4 (en) si le groupe est de présentation finie[18].

La fonction f induit une application f_✻ des lacets de X dans les lacets de Y. Cette application est compatible avec la relation d'équivalence que définit l'homotopie ainsi qu'avec la loi de composition du groupe fondamental.

Si α₁ et α₂ sont deux lacets de base p, la loi de juxtaposition s'applique. Si les deux lacets sont homotopes par H, alors l'application f∘H est une homotopie entre f_✻(α₁) et f_✻(α₂), ce qui montre que l'application f_✻ est définie sur le groupe π₁(X, p) à valeurs dans le groupe π₁(Y, f(p)). De plus :

• L'application f_✻, de π₁(X, p) dans π₁(Y, f(p)), définie par :${\displaystyle \forall [\gamma ]\in \pi _{1}(X,p),\quad f_{*}([\gamma ])=[f\circ \gamma ]}$est un morphisme de groupes[19]. Ce morphisme est appelé morphisme induit par l'application f.

Si Z est un autre espace topologique et g une fonction continue de Y dans Z, alors les morphismes se composent :

${\displaystyle (g\circ f)_{*}=g_{*}\circ f_{*}.}$

Il suffit de remarquer que l'application (Id_X)_✻ est l'identité du groupe π₁(X, p) pour conclure que :

• Si f est un homéomorphisme, alors le morphisme de groupes f_✻ est un isomorphisme.

Si deux espaces sont connexes par arcs et homéomorphes, leurs groupes fondamentaux sont donc isomorphes. L'isomorphisme n'est en général pas unique.

Un exemple d'application des morphismes précédents est le théorème du point fixe de Brouwer. En dimension 2, il se démontre simplement à l'aide de l'étude d'une fonction continue permettant de bâtir un morphisme de groupes fondamentaux. Une définition est utile[20] :

Soit X un espace topologique connexe par arcs et A une partie de X. Une rétraction de X sur A est une application continue de X dans A dont la restriction à A est l'identité. On dit que A est un rétracte de X s'il existe une rétraction de X sur A.

Cette définition permet d'exprimer la proposition suivante, équivalente au théorème du point fixe de Brouwer en dimension 2 :

• Il n'existe pas de rétraction d'un disque sur sa frontière.

Soient B² le disque et S¹ sa frontière. Supposons qu'une telle rétraction, notée F, de B² sur S¹, existe. Notons Inj_S l'injection canonique de S¹ dans B² et Id_S l'application identité de S¹. On aurait alors la contradiction suivante :

${\displaystyle {\text{Id}}_{\mathbb {Z} }=({\text{Id}}_{S})_{*}=(F\circ {\text{Inj}}_{S})_{*}=F_{*}\circ ({\text{Inj}}_{S})_{*}=F_{*}\circ 0=0,}$

le fait que le morphisme (Inj_S)_✻ est nul étant justifié par la remarque qu'il est à valeurs dans le groupe fondamental du disque, qui est trivial.

Le théorème de Brouwer indique que toute fonction continue f du disque dans lui-même admet un point fixe. S'il n'en avait pas, il serait aisé de construire une rétraction. On considérerait le segment passant par x et f(x) illustré sur la figure (si x est un élément du disque). Ce segment traverse le disque en un point, plus proche de x que de f(x). Si ce point est l'image par F du point x, alors F est la rétraction recherchée[21]. Une description plus précise est disponible dans l'article détaillé :

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homotopiquement équivalents s'il existe deux applications continues f : X → Y et g : Y → X telles que g∘f est homotope à Id_X et f∘g est homotope à Id_Y.

Si deux espaces sont connexes par arcs et homotopiquement équivalents, leurs groupes fondamentaux sont isomorphes.

Par exemple, un espace homotopiquement équivalent à un espace simplement connexe est simplement connexe.

Le premier groupe d'homologie d'un espace est la somme directe des premiers groupes d'homologie de chacune de ses composantes connexes par arcs. Un cas particulier du théorème d'Hurewicz relie ces groupes d'homologie des composantes à leurs groupes fondamentaux :

Le premier groupe d'homologie entière d'un espace connexe par arcs est isomorphe à l'abélianisé de son groupe fondamental.

Il y a équivalence entre les sous-groupes à conjugaison près du groupe fondamental et les revêtements à isomorphisme près. Dans cette équivalence, les sous-groupes normaux correspondent aux revêtements galoisiens.

En théorie des revêtements, on montre que si l'espace admet un revêtement simplement connexe (en particulier si l'espace est semi-localement simplement connexe c'est-à-dire si l'espace n'est pas trop « sauvage », par exemple s'il est localement contractile) son groupe fondamental est isomorphe au groupe des automorphismes d'un de ses revêtements universels.

Calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui n'est pas simplement connexe est un exercice difficile, car il faut prouver que certains lacets ne sont pas homotopes. Le théorème de van Kampen, également appelé théorème de Seifert-Van Kampen, permet de résoudre ce problème lorsque l'espace topologique peut être décomposé en des espaces plus simples dont les groupes fondamentaux sont déjà connus. Ce théorème permet de calculer le groupe fondamental d'un éventail très large d'espaces.

Ce théorème dit que si deux sous-espaces de X, tous les deux ouverts ou tous les deux fermés, contiennent un point x et ont une intersection connexe par arcs, le groupe fondamental de la réunion des deux espaces pointés en x est la somme amalgamée (dans la catégorie des groupes) des groupes fondamentaux en x des deux espaces, l'amalgame se faisant le long du groupe fondamental de leur intersection.

${\displaystyle \pi _{1}(V_{1}\cup V_{2},x)=\pi _{1}(V_{1},x){\underset {\pi _{1}(V_{1}\cap V_{2},x)}{\star }}\pi _{1}(V_{2},x).}$

On définit le cône d'un espace topologique X[22] comme l'espace quotient

${\displaystyle CX=(X\times I)/(X\times \{0\})\,}$

du produit de X par l'intervalle unité I = [0, 1].

(Si X est un cercle, on obtient une partie d'un cône de révolution.)

Tout cône C(X) est simplement connexe (car contractile[22]).

On a une inclusion canonique X = X × {1} ⊂ C(X).

Si f : X → Y est une application continue entre deux espaces topologiques, on définit le cône C(f) de l'application f comme le quotient de la réunion disjointe C(X)⊔Y par l'identification de chaque élément x de X ⊂ C(X) avec son image f(x) dans Y.

Exemples : si f est l'application de degré 2 dans le cercle : S¹ → S¹, z ↦ z², on obtient C(f) = P₂(ℝ), le plan projectif réel. Plus généralement, pour n ≥ 1, si f est la projection canonique de la sphère S^n–1 sur l'espace projectif réel P_n–1(ℝ), C(f) = P_n(ℝ).

Le théorème du cône affirme que si X est connexe par arcs, le groupe fondamental de C(f) est isomorphe au quotient de π₁(Y) par le normalisé (en) du sous-groupe de π₁(Y) image de f_✻[23].

Application : les espaces projectifs P_n(ℝ) pour n ≥ 2 ont des groupes fondamentaux isomorphes à ℤ/2ℤ.

• Le groupe fondamental d'un graphe connexe est un groupe libre (voir Théorème de Nielsen-Schreier).
• Le groupe fondamental d'un polyèdre admet une présentation par générateurs et relations, une relation étant fournie par chacune des faces du polyèdre.
• Le groupe fondamental d'une surface compacte orientable de genre g admet une présentation avec 2g générateurs a₁, b₁, … , a_g, b_g et une seule relation [a₁, b₁] … [a_g, b_g] = 1 (on peut aussi choisir la présentation a₁…a_gb₁…b_ga₁⁻¹…a_g⁻¹b₁⁻¹…b_g⁻¹ = 1).

En théorie des nœuds, on cherche à distinguer les nœuds non isotopes. Le groupe fondamental du complément d'un nœud fournit un invariant de nœuds, qui permet de distinguer certains d'entre eux.

Une catégorie est appelée un groupoïde si les objets et les flèches forment un ensemble (c'est une petite catégorie) et si toutes les flèches sont inversibles (sont des isomorphismes). Les groupoïdes forment une catégorie dont les morphismes sont les foncteurs entre groupoïdes. Les groupes sont des groupoïdes avec un seul objet, les flèches étant les éléments du groupe.

Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence x ≡ y si l'ensemble G(x,y) des morphismes de x vers y est non vide. L'ensemble quotient (dont les objets sont les classes d'équivalences) est noté π₀(G). Si f est un morphisme de groupoïdes, f est compatible avec la relation d'équivalence ≡. Par passage au quotient, π₀ définit un foncteur (le foncteur composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.

Soit G un groupoïde, et x un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de G(x, x) restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note π₁(G, x) ce groupe.

À chaque espace topologique X, on associe de façon fonctorielle un groupoïde πX : on prend pour ensemble d'objets πX l'ensemble sous-jacent à X. Les flèches de source x et de but y sont les classes d'homotopie des chemins (= arcs continus) de x vers y. La relation d'homotopie est compatible avec la composition des chemins et définit donc un groupoïde πX appelé le groupoïde fondamental de X. Le théorème de van Kampen s'exprime également simplement en utilisant les groupoïdes fondamentaux.

Le groupe fondamental est défini par

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\pi _{1}(\pi X,x_{0}).}$

Le groupe fondamental est en fait le premier groupe d'homotopie, d'où l'indice 1 dans la notation π₁(X).

Dans la théorie des revêtements d'un espace X, on définit la fibre d'un revêtement π_E : E → X au point p comme l'ensemble π_E⁻¹(p) qui est aussi noté E(p). La correspondance E ↦ E(p) définit un foncteur de la catégorie des revêtements de base (X, p), dans la catégorie des ensembles. Le groupe fondamental peut être défini de manière abstraite comme le groupe des automorphismes du foncteur fibre, qui, à un revêtement de base (X, p), associe E(p).

Cette définition alternative ouvre la voie à la généralisation en géométrie algébrique, où la définition donnée précédemment en termes de lacets de base p ne s'applique pas naturellement. Dans cette généralisation, les revêtements étant remplacés par les morphismes étales finis: le groupe fondamental de l'espace pointé (X, p) est le groupe des automorphismes du foncteur fibre qui, à un morphisme étale fini E → X, associe la fibre E(p) au point p. Cette généralisation est due à Alexandre Grothendieck et Claude Chevalley.

Cette théorie permet d'expliquer le lien entre la théorie de Galois des revêtements des surfaces de Riemann (groupe d'automorphismes…) et la théorie de Galois des corps de fonctions.