Théorème de van Kampen

Soient U₁, U₂ des ouverts connexes par arcs ainsi que leur intersection, alors le groupoïde fondamental de U₁∪U₂ est égal à la somme amalgamée[2] - [3] de ceux respectifs de U₁ et U₂ au-dessus de celui de leur intersection :

${\displaystyle \pi (U_{1}\cup U_{2})=\pi (U_{1})*_{\pi (U_{1}\cap U_{2})}\pi (U_{2}),}$

et de même pour les groupes fondamentaux[4] - [5] en un point ${\displaystyle x}$ commun à ces deux ouverts connexes:

${\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cup U_{2},x)=\pi _{1}(U_{1},x){\underset {\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x)}{\bigstar }}\pi _{1}(U_{2},x).}$

Un cas particulier essentiel est celui où U₁∩U₂ est simplement connexe : π₁(U₁∪U₂,x) est alors le produit libre π₁(U₁,x)∗π₁(U₂,x) des groupes fondamentaux de U₁ et U₂.

Par exemple, un tore percé d'un trou est homéomorphe à la réunion de deux cylindres d'intersection simplement connexe. Le théorème de van Kampen montre que son groupe fondamental est ℤ∗ℤ, c'est-à-dire le groupe libre sur deux générateurs. De façon similaire, le groupe fondamental du plan projectif est le groupe à deux éléments.

Le théorème énoncé ci-dessus reste valide si U₁, U₂ et U₁∩U₂ sont des sous-espaces fermés connexes par arcs[6].

Soient V₁, V₂ des sous-espaces fermés connexes par arcs qui admettent des revêtements simplement connexes, ainsi que leur intersection, et soit x un point commun à ces deux fermés. Alors le groupe fondamental de V₁∪V₂ en x est égal à la somme amalgamée des groupes fondamentaux de V₁ et V₂ en x au-dessus de celui de leur intersection :

${\displaystyle \pi _{1}(V_{1}\cup V_{2},x)=\pi _{1}(V_{1},x)*_{\pi _{1}(V_{1}\cap V_{2},x)}\pi _{1}(V_{2},x).}$