Théorème de Heine

L'application, notée f, étant continue en tout point x, nous savons que :

${\displaystyle \forall x\in [a,b],\forall \varepsilon >0,\exists \eta _{x,\varepsilon }>0\quad {\text{tel que}}\quad \forall y\in [a,b],|x-y|<\eta _{x,\varepsilon }\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon .}$

Le théorème de Heine permet d'affirmer plus : elle est uniformément continue, c'est-à-dire que η peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

${\displaystyle \forall x\in [a,b],\exists \eta _{x,\varepsilon }\quad {\text{en}}\quad \exists \eta _{\varepsilon },\forall x\in [a,b].}$

L'uniforme continuité de f s'exprime en effet par :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta _{\varepsilon }>0\quad \forall x\in [a,b],\forall y\in [a,b]\quad \left(|x-y|<\eta _{\varepsilon }\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \right)}$.

Une première méthode[3] est de raisonner par contraposée, en supposant f non uniformément continue et en prouvant qu'elle est alors discontinue en au moins un point, grâce à la propriété de Bolzano-Weierstrass dans ℝ (toute suite réelle bornée possède une sous-suite convergente).

Une autre est d'utiliser comme suit le théorème de Borel-Lebesgue (de tout recouvrement ouvert de [a, b], on peut extraire un sous-recouvrement fini) :

Pour tout x et y de [a, b], on note d(x, y) = |x – y| et, pour tout r > 0, B(x, r) = ]x – r, x + r[.

Fixons un ε > 0 et posons, pour tout ${\displaystyle x\in [a,b]}$, ${\displaystyle \beta _{x,\varepsilon }={\frac {1}{2}}\eta _{x,\varepsilon /2}}$ (où les ${\displaystyle \eta _{x,\varepsilon /2}}$ sont donnés par la continuité de f).

La famille d'ouverts ${\displaystyle {\Big (}B(x,\beta _{x,\varepsilon }){\Big )}_{x\in [a,b]}}$ est un recouvrement de [a, b]. Il existe donc une partie finie Z de [a, b] telle que ${\displaystyle [a,b]\subset \cup _{z\in Z}B(z,\beta _{z,\varepsilon })}$.

Posons ${\displaystyle \eta =\eta _{\varepsilon }=\min _{z\in Z}\beta _{z,\varepsilon }.}$ Alors, pour tous ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ tels que ${\displaystyle d(x,y)<\eta }$, en choisissant un ${\displaystyle z\in Z}$ tel que ${\displaystyle x\in B(z,\beta _{z,\varepsilon })}$ on obtient :

${\displaystyle d(x,z)<\beta _{z,\varepsilon }{\text{ et }}d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)<\eta +\beta _{z,\varepsilon }\leq 2\beta _{z,\varepsilon }=\eta _{z,\varepsilon /2}}$

donc

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(f(x),f(z))+d(f(z),f(y))<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon .}$

La valeur η trouvée étant bien indépendante de x, la continuité uniforme est démontrée.

On note f l'application, d la distance sur X et d' la distance sur Y. L'uniforme continuité de f s'exprime alors par :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall a,b\in X\quad d(a,b)<\eta \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon .}$

Remarque

Par l'une ou l'autre des deux variantes de la « démonstration directe » ci-dessous, on obtient plus généralement que si ${\displaystyle (Z,d)}$ et ${\displaystyle (Y,d')}$ sont deux espaces métriques et ${\displaystyle X}$ une partie compacte de ${\displaystyle Z}$ alors, pour toute application continue ${\displaystyle f:Z\to Y}$ :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall a\in X\quad \forall b\in Z\quad d(a,b)<\eta \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\varepsilon }$.

On peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement ${\displaystyle [a,b]}$ par ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle Y}$, théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

De même, la variante utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass s'adapte sans difficulté.

Par « théorème des bornes » on entend ici la version générale suivante du théorème des bornes usuel :

Pour tout ε > 0, en appliquant ce théorème au compact

${\displaystyle K:=\{(x,y)\in X\times X\mid d'(f(x),f(y))\geq \varepsilon \},}$

et à l'application d, on obtient, si K est non vide, un η vérifiant la propriété voulue :

${\displaystyle \eta$ :=\inf d(K)>0.}

(Si K est vide, on peut choisir η arbitrairement.)