Théorème du sandwich au jambon

Étant donné n parties[2] Lebesgue-mesurables et de mesures finies d'un espace euclidien de dimension n, il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales[1].

Le théorème est parfois appelé théorème de Stone-Tukey, d'après Arthur Stone et John Tukey[3]. Hugo Steinhaus avait conjecturé ce théorème dans le Livre écossais. Il a été aussitôt démontré en 1938 par Stefan Banach à l'aide du théorème de Borsuk-Ulam[4].

Soient ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ les n parties de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, de mesures finies ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$, que l'on souhaite couper en deux parties d'égale mesure (en dimension n = 3, la figure illustre la preuve avec, pour ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$, des solides de Platon en orange et rouge, la solution est ici le plan défini par les trois centres).

Ayant fixé un vecteur ${\displaystyle x}$ de la sphère ${\displaystyle S^{n-1}}$, on considère, pour tout réel ${\displaystyle t}$, l'hyperplan affine orthogonal à ${\displaystyle x}$ passant par ${\displaystyle tx}$, et le demi-espace délimité par cet hyperplan et contenant ${\displaystyle (t+1)x}$. Le volume ${\displaystyle V_{i}(t,x)}$ de l'intersection de ${\displaystyle A_{i}}$ et de ce demi-espace est une fonction continue de ${\displaystyle (t,x)}$ et vérifie :

${\displaystyle V_{i}(-t,-x)=V_{i}-V_{i}(t,x).~}$

Comme de plus ${\displaystyle t\mapsto V_{1}(t,x)}$ est une fonction décroissante de ${\displaystyle t}$, qui tend vers 0 quand ${\displaystyle t}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ et vers ${\displaystyle V_{1}}$ quand ${\displaystyle t}$ tend vers ${\displaystyle -\infty }$, l'ensemble des réels ${\displaystyle t}$ tels que ${\displaystyle V_{1}(t,x)=V_{1}/2}$ est un segment non vide ${\displaystyle [t'(x),t''(x)]}$ qui vérifie ${\displaystyle [t'(-x),t''(-x)]=[-t''(x),-t'(x)]}$. Son milieu ${\displaystyle t(x)={\frac {t'(x)+t''(x)}{2}}}$ est donc une fonction continue impaire de ${\displaystyle x}$ vérifiant ${\displaystyle V_{1}(t(x),x)=V_{1}/2}$ pour toute direction ${\displaystyle x}$.

Par composition, la fonction

${\displaystyle f:S^{n-1}\to \mathbb {R} ^{n-1},x\mapsto (V_{2}(t(x),x),\dots ,V_{n}(t(x),x))}$

est également continue. On peut donc lui appliquer le théorème de Borsuk-Ulam, ce qui fournit une direction ${\displaystyle x}$ telle que ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$. Pour un tel ${\displaystyle x}$, l'hyperplan orthogonal à ${\displaystyle x}$ et passant par ${\displaystyle t(x)x}$ coupe les ${\displaystyle A_{i}}$ pour ${\displaystyle i=2,\ldots ,n}$ en deux morceaux de même mesure car

${\displaystyle V_{i}(t(x),x)=V_{i}(t(-x),-x)=V_{i}(-t(x),-x)=V_{i}-V_{i}(t(x),x).~}$

Ainsi, ${\displaystyle V_{i}(t(x),x)=V_{i}/2}$ est vrai pour ${\displaystyle i=2,\ldots ,n}$ par choix de ${\displaystyle x}$ et pour ${\displaystyle i=1}$ par définition de ${\displaystyle t(x)}$.

(en) Ham sandwich theorem and a proof, sur PlanetMath