Homéomorphisme

Soit ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ des espaces topologiques, ${\displaystyle f}$ une application bijective de ${\displaystyle X}$ sur ${\displaystyle Y}$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{-1}}$sont continues ;
• pour qu'une partie de ${\displaystyle X}$ soit ouverte, il faut et il suffit que son image dans ${\displaystyle Y}$ soit ouverte[1].

• Une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte ou fermée (elle est alors les deux).
• Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K → E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.En effet, tout fermé F de K est compact ; comme E est séparé, l'image de F par f est compacte, a fortiori fermée dans E. Donc, f est une bijection continue fermée, i.e. un homéomorphisme par le point précédent.
• Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme (voir l'article Comparaison de topologies). Par exemple, l'application${\displaystyle f:\left[0,2\pi \right[\to S^{1},~t\mapsto (\cos t,\sin t)}$est une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en (1, 0). En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le cercle S¹ et une partie de ℝ (par des arguments de connexité ou de simple connexité).

Une application f : X → Y est un homéomorphisme local (en) si tout point de X appartient à un ouvert V tel que f(V) soit ouvert dans Y et que f donne, par restriction, un homéomorphisme de V sur f(V). Une telle application est continue et ouverte.

Exemples

• Tout revêtement est un homéomorphisme local.
• Pour tout ouvert X de Y, l'inclusion X → Y est un homéomorphisme local.
• Toute composée X → Z d'homéomorphismes locaux X → Y et Y → Z est un homéomorphisme local.
• Toute réunion disjointe ∐_i∈IX_i → Y d'homéomorphismes locaux X_i → Y est un homéomorphisme local.
• Tout quotient X/~ → Y d'un homéomorphisme local X → Y par une relation d'équivalence ~ compatible et ouverte est un homéomorphisme local. (Cf. la « droite réelle avec un point double ».)
• Tout difféomorphisme local d'une variété dans une autre est un homéomorphisme local.

Une propriété topologique est une propriété qui est invariante par homéomorphismes.

• Tout difféomorphisme est un homéomorphisme.
• Un cercle et un carré sont homéomorphes (par translation suivie d'une projection centrale).
• La sphère de Riemann privée de son pôle nord est homéomorphe au plan[1] : un homéomorphisme est ici la projection stéréographique.
• Le tore de dimension 1 et le cercle unité[1] (ou tout autre cercle de rayon non nul) sont homéomorphes.