Projection centrale

Soit O un point d'un espace affine ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ (en général un plan ou un espace de dimension 3), appelé centre ou sommet de la projection; soit (P) un hyperplan (en général une droite ou un plan) ne contenant pas O ; soit enfin (P') le plan parallèle à (P) passant par O. On appelle projection centrale sur (P) de centre O, l'application de ${\displaystyle {\mathcal {E}}\backslash }$(P') sur (P) qui, à un point M, associe le point d'intersection de la droite (OM) avec l'hyperplan (P)[1].

Remarque : ce point est bien défini puisque M n'appartient pas à (P').

Exemple[2] : Dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\mathbb {R} ^{3}=\{(x,y,t):x,y,t\in \mathbb {R} \}}$, soit (Q) le plan d'équation ${\displaystyle y=1}$ et (P) celui d'équation ${\displaystyle t=-1}$ et soit la projection de centre O(0,0,0) sur (P). Elle associe, au point ${\displaystyle M(x,1,t)}$ de (Q), le point ${\displaystyle M'\left({\frac {-x}{t}},{\frac {-1}{t}},-1\right)}$ de (P), à condition que ${\displaystyle t}$ soit non nul.

La projection centrale et ses limites dans les espaces affines a motivé la création des espaces projectifs et a donné naissance à la géométrie projective[3].

La droite projective est née de l'observation d'une projection de centre O sur une droite (d) : tous les points d'une droite passant par O se projettent sur un même point de (d) sauf pour la droite (d_O) parallèle à (d) passant par O. Cette exception conduit à imaginer un point dit à l'infini sur lequel tous les points de (d_O) vont se projeter. On construit ainsi une bijection entre l'ensemble des droites du plan passant par O et une droite du plan complétée par un point à l'infini. L'idée est donc d'appeler droite projective l'ensemble des droites du plan passant par O, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles d'un plan vectoriel. La bijection qui, à toute droite passant par O, associe son intersection avec la droite (d) s'appelle une incidence. Pour tout point M de la droite, on appelle vecteur relevant M, tout vecteur directeur de la droite (OM). Il existe une infinité d'incidences possibles, permettant d'envoyer une des droites quelconque vers l'infini (il suffit de projeter sur une droite parallèle à la droite choisie).

Le plan projectif se construit de la même manière : par projection de centre O sur un plan. L'ensemble des droites passant par O et non parallèles à (P) se projettent sur des points de (P) et on complète (P) par un ensemble de points à l'infini : l'ensemble des droites du plan central passant par (O). Ces points à l'infini forment la droite des infinis[4].

Dans le cas d'une projection centrale sur un plan projectif (P), la droite (OM) rencontre toujours le plan (P), éventuellement à l'infini. La projection centrale est alors définie par tout point différent de O, c'est une application surjective de l'espace privé du point O sur le plan (P).

Le principe se généralise à des espaces projectifs de dimension n. L' ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel de dimension n+1 est appelé espace projectif de dimension n associé à l'espace vectoriel de dimension n+1. Il peut être vu comme un espace affine de dimension n complété par un ensemble de points dit à l'infini correspondant à l'ensemble des droites vectorielles de l'espace affine.

Cette correspondance permet d'associer à toute projection centrale, une projection vectorielle[5] - [6] : Si ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ est l'espace vectoriel associé à E, ${\displaystyle {\overrightarrow {P}}}$ l'hyperplan de ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ associé à (P) et ${\displaystyle {\hat {a}}}$ un vecteur relevant ${\displaystyle a\in E}$, la projection centrale dans le plan projectif est obtenue par passage au quotient à partir de la projection vectorielle sur ${\displaystyle {\overrightarrow {P}}}$ selon la direction ${\displaystyle \mathbb {R} {\hat {a}}}$. C'est donc, quand elle est restreinte à une autre droite projective ne contenant pas ${\displaystyle a}$ une application projective de l'espace projectif. C'est, plus précisément, un cas particulier d'homologie, puisqu'elle possède comme points fixes un hyperplan et un point extérieur à l'hyperplan.

Toutes les propriétés s'entendent pour un espace affine (à condition que les points ou les rapports y soient bien définis) et pour un espace projectif. Les projections conservent l'alignement[7] et les incidences (intersections et contacts[8]) mais ne conservent pas les milieux ni le parallélisme. Elles transforment des faisceaux de droites parallèles en droites parallèles (si la direction des droites est parallèle au plan de projection) ou concourantes. Inversement, deux droites images sont parallèles si et seulement si les droites antécédentes se coupent dans le plan central (P₀)[9].

La projection centrale ne conserve pas les milieux.

Projection envoyant deux droites parallèles en deux droites sécantes.

Les projections transforment des droites projectives en droites projectives, des coniques en coniques, des courbes différentiables en courbes différentiables[10].

La projection centrale envoie (A, B, C, D) sur (A', B', C', D'). Les deux quadruplets ont même birapport:${\displaystyle {\frac {\overline {CA}}{\overline {CB}}}:{\frac {\overline {DA}}{\overline {DB}}}={\frac {\overline {C'A'}}{\overline {C'B'}}}:{\frac {\overline {D'A'}}{\overline {D'B'}}}}$

Les projections centrales conservent le birapport de 4 points. Il existe de nombreuses façons de démontrer cette propriété.

• Une, analytique[11], consiste à se placer dans un repère ${\displaystyle (O,{\vec {u}},{\vec {v}})}$ porté par les droites (OA) et (OB) . Dans ce repère les droites (OC) et (OD) s'expriment sous forme ax + by = 0 et cx + dy =0. On calcule alors les abscisses λ_c et λ_d des points C et D dans le repère ${\displaystyle (A{\overrightarrow {AB}})}$ et on démontre que le birapport est égal à ${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}}$, valeur qui ne dépend que des directions des droites (OA), (OB) (OC) (OD)
• Une, euclidienne, consiste à démontrer que le birapport est égal au birapport des sinus des angles que font les droites entre-elles:

${\displaystyle [A;B;C;D]={\frac {\sin({\overrightarrow {OA}};{\overrightarrow {OC}})}{\sin({\overrightarrow {OB}};{\overrightarrow {OC}})}}:{\frac {\sin({\overrightarrow {OA}};{\overrightarrow {OD}})}{\sin({\overrightarrow {OB}};{\overrightarrow {OD}})}}}$.

On peut utiliser pour ce faire les aires algébriques des triangles [12] ou les coordonnées polaires des points A, B, C, D dans un repère centré en O et la formule trigonométrique ${\displaystyle \tan a-\tan b={\frac {\sin(a-b)}{\cos a\cos b}}}$[13].

• Une, affine, consiste à exprimer le birapport comme un rapport simple en utilisant une transversale parallèle à l'une des droites du faisceau: Perrin[14] propose de mener par B une parallèle à (OA) rencontrant (OC) et (OD) en M et N et de démontrer que le birapport est égal ${\displaystyle {\frac {\overline {BM}}{\overline {BN}}}}$. On montre que cette valeur est indépendante de la sécante choisie grâce à une hométhétie de centre O. Cette démarche est peu ou prou celle suivi par Pappus, au IV^e siècle, quand il démontre cette propriété dans ses Collections mathématiques. Lehman[15], quant à lui, utilise le point d'intersection M₀ de la droite (AB) avec la droite passant par O et parallèle à (A'B'). Il démontre que le birapport (A, B, C, M₀) est égal au rapport simple (A', B', C'), à l'aide d'une parallèle à (A'B') passant par C. Par quotient , il démontre que les birapports (A, B, C,D) et (A', B', C', D') sont égaux. Les formules pour les espaces projectifs consiste à prolonger les droites par des points à l'infini[16], le birapport devient alors un rapport simple.
• Une, projective, consiste à remarquer que la projection étant une application projective, elle conserve, comme toute application projective, le birapport. Pour démontrer qu'une application projective conserve le birapport, Audin[17] rappelle qu'une homographie d'une droite sur une droite est déterminée par l'image de 3 points, elle définit le birapport des points ABCD, comme l'image de D par l'homographie de la droite projective (AB) sur la droite projective réelle qui envoie A à l'infini, B en 0 et C en 1. Elle utilise ensuite le fait que la composée d'homographies est une homographie et les caractérise par l'image de 3 points.

Quadrilatère complet avec ses quatre droites, ses 6 points (EADCFB), ses trois diagonales (EF), (AC), (BD) et leurs intersections I, J, K.

Un quadrilatère complet est la donnée de 4 droites dont trois ne sont jamais concourantes, ces 4 droites produisent 6 points d'intersections qui sont les sommets du quadrilatère. Ces 6 points produisent trois autres droites distinctes des 4 droites précédentes appelés diagonales du quadrilatère complet. Ces trois diagonales génèrent 3 points, appelés points d'intersection des diagonales.

Quadrilatère complet vu comme l'image d'un parallélogramme par une projection centrale. Ici le parallélogramme est dans un plan parallèle au plan contenant la diagonale d et le centre de la projection O.

Tout quadrilatère complet peut être vu comme image par projection centrale d'un parallélogramme[25].

Cette correspondance permet d'exhiber les faisceaux harmoniques d'un quadrilatère complet à partir des faisceaux harmoniques dans un parallélogramme Pour un parallélogramme, le faisceau formé par les diagonales et les médianes est un faisceau harmonique. Il suffit pour s'en convaincre de remarquer que le birapport [A,B, I, ∞] vaut -1. On en déduit que dans le parallélogramme complet ci-contre, (IK),(IJ),(IE), (IF) est également un faisceau harmonique et que les points (EFKJ) forment une division harmonique.

De même, dans un parallélogramme, le faisceau de droites parallèles formé des supports de deux côtés opposés, de la médiane et de la droite à l'infini est un faisceau harmonique, il en est de même du faisceau (EA), (EC), (EI), (EF) et les points (ACIK) forment une division harmonique.

Triangles homologiques vus comme des projetés de triangles homothétiques

Deux triangles (ABC) et (A'B'C') sont dits homologiques si les points d'intersection de (AB) avec (A'B'), de (BC) avec (B'C'), et de (CA) avec (C'A') sont alignés sur une droite d.

Toute paire de triangles homologiques peut être vue comme image par projection centrale d'une paire de triangles homothétiques ou translatés l'un de l'autre[25]. Il suffit de prendre un plan parallèle au plan contenant (d) et passant par O. Par projection centrale dans ce plan les droites images de (AB) et (A'C') (respectivement de (BC) et (B'C'), de (CA) et (C'A') sont parallèles. Cette correspondance permet de mettre en rapport la version projective et la version affine du théorème de Desargues[26].

Image du cercle par projection de centre O quand O varie : on obtient successivement une ellipse, une parabole, une hyperbole.

Les projections centrales trouvent une grande part de leur intérêt dans l'étude des coniques. En effet, l'image d'un cercle par une projection centrale est une conique et, inversement, une conique étant définie comme l'intersection d'un cône de révolution par un plan, elle peut être vue comme l'image d'un cercle par un projection centrale dont le centre est sur l'axe du cercle[27]. Toutes les propriétés touchant le cercle et concernant les invariants des projections centrales (alignement, contact, birapport) peuvent être transférées à toute conique. Il en est ainsi du birapport de 4 points sur une conique, défini comme le birapport des quatre droites issues d'un point quelconque de la conique et passant chacune par un des 4 points en question. Cette notion se déduit de celle de birapport sur un cercle[28]. Il en est de même du théorème de Pascal concernant l'hexagone inscrit dans une conique qui se déduit de celui de l'hexagone inscrit dans un cercle.