Spin

Toutes les particules connues ou d'existence fortement suspectée ont un nombre quantique de spin compris entre 0 et 2. C'est en particulier le cas des particules élémentaires.

• Spin 0 : le boson de Higgs ;
• Spin 1/2 : l'électron, le positron, les neutrinos, les quarks, etc.;
• Spin 1 : le photon, le gluon (vecteur de l'interaction forte), les bosons W^± et Z⁰ (vecteurs de l'interaction faible);
• Spin 2 : le graviton, particule hypothétique, qui serait vecteur de la gravitation.

Il n'existe pas de particule élémentaire connue de spin 3/2, mais la théorie de la supersymétrie en prédit une, le gravitino.

Le spin (à l'état fondamental) des particules composées de plusieurs particules élémentaires, comme le proton, le neutron, tout noyau atomique ou encore tout atome, est constitué des spins des particules élémentaires qui les composent, auquel s'ajoute le moment cinétique orbital de ces différentes particules élémentaires[10] :

• Spin 0 : noyaux atomiques tels que ¹²C, ¹⁶O, ²⁸Si… et de manière générale les noyaux composés d'un nombre pair de protons et de neutrons ;
• Spin 1/2 : le proton, le neutron, et certains noyaux atomiques, par exemple : ¹³C, ²⁹Si, etc. ;
• Spin > 1/2 : les noyaux de 75 % des isotopes stables, par exemple ¹⁴N spin 1, ³⁵Cl spin 3/2, ²⁰⁹Bi spin 9/2.

Il n'est pas toujours facile de déduire le spin d'une particule à partir de principes simples ; par exemple, même s'il est connu que le proton a un spin 1/2, la question de savoir comment les particules élémentaires qui le composent sont disposées et arrangées est toujours un sujet actif de recherche (voir structure de Spin des nucléons)[11] - [12].

Comme le montre le théorème spin-statistique, la valeur entière ou demi-entière du spin détermine une propriété cruciale de la particule :

• si son spin est entier, elle suit la statistique de Bose-Einstein, et c'est un boson,
• si son spin est demi-entier, en raison du principe d'exclusion de Pauli, elle suit la statistique de Fermi-Dirac, et c'est un fermion.

Aux hautes températures, ces statistiques tendent toutes les deux vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, la différence explique que seuls les bosons puissent former un condensat de Bose-Einstein.

Pour une particule de nombre quantique de spin ${\displaystyle s=1/2}$ comme l'électron, le proton ou le neutron, donc ${\displaystyle 2s+1=2}$ : il existe seulement deux états de spin distincts, caractérisés par ${\displaystyle m_{s}=\pm 1/2}$.

On note souvent les deux états propres correspondants : ${\displaystyle |+\rangle }$ et ${\displaystyle |-\rangle }$, ou encore : ${\displaystyle |\uparrow \rangle }$ et ${\displaystyle |\downarrow \rangle }$.

Pauli a introduit trois matrices 2 × 2, notées ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i},\ i=x,y,z}$ telles que l'opérateur de spin s'écrive :

${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\ =\ {\frac {\hbar }{2}}\ {\hat {\sigma }}_{i}}$

Ces trois matrices de Pauli s'écrivent explicitement :

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{x}\ =\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad {\hat {\sigma }}_{y}\ =\ {\begin{pmatrix}0&-\ i\\i&0\end{pmatrix}};\quad {\hat {\sigma }}_{z}\ =\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-\ 1\end{pmatrix}}}$

Elles satisfont les relations de commutation :

${\displaystyle \left[\,{\hat {\sigma }}_{i}\,,\ {\hat {\sigma }}_{j}\,\right]\ =\ 2\ i\ \epsilon _{ijk}\ {\hat {\sigma }}_{k}}$

Il a été remarqué qu'il s'agit là des relations entre quaternions découvertes par William Rowan Hamilton, ce qui donne une représentation plus compacte des opérateurs de spin.

En mécanique classique, le moment angulaire d'une particule possède non seulement une magnitude (vitesse de rotation de la particule), mais également une direction (direction de l'axe de rotation de la particule).

En mécanique quantique, le moment angulaire de spin (spin) contient également ces informations, mais dans une forme plus subtile. La mécanique quantique montre en effet, par l'intermédiaire des équations (1) et (2) ci-dessus (voir #Le moment cinétique de spin), que si l'état du moment angulaire de spin est l'un des états propres de ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$, la composante du spin mesurée selon une direction quelconque, c'est-à-dire sa projection sur un axe quelconque (par exemple l'axe z), ne peut prendre que les valeurs quantifiées suivantes :

${\displaystyle S_{z}=\langle s,m_{s}\vert {\hat {S}}_{z}\vert s,m_{s}\rangle =m_{s}\hbar ,\qquad m_{s}=-s,-s+1,\cdots ,s-1,s}$

où s est le nombre quantique de spin de la particule. On peut constater qu'il existe 2s+1 valeurs possibles de ${\displaystyle m_{s}}$. Le nombre 2s+1 est appelé la multiplicité de spin. Par exemple, il n'y a que deux valeurs possibles pour une particule de spin 1/2 : ${\displaystyle m_{s}}$ = +1/2 ou -1/2. Cela correspond à deux états quantiques, notés symboliquement ${\displaystyle \vert \uparrow \rangle }$ et ${\displaystyle \vert \downarrow \rangle }$, pour lesquels la projection du spin pointe respectivement dans la direction +z ou -z. La valeur de la projection dans les autres directions de l'espace, x ou y par exemple, est par contre indéterminée, du fait des relations de non-commutation (ou d'« incertitude ») entre les trois composantes du spin. En d'autres termes, si on ne s'intéresse qu'à un spin individuel, il n'est pas possible de déterminer avec précision sa direction dans l'espace (c'est en quelque sorte l'équivalent du principe d'incertitude de Heisenberg en ce qui concerne la vitesse et la position d'une particule, qui ne peuvent pas être déterminées simultanément).

Représentation géométrique d'un état de spin 1/2 par une sphère de Riemann.

Un état quantique quelconque d'une particule isolée de spin s=1/2 peut s'exprimer sous la forme générale :

${\displaystyle |\nearrow \rangle =a|\uparrow \rangle +b|\downarrow \rangle }$

où a et b sont deux nombres complexes. Cette formule exprime une superposition des deux états propres.

Penrose montre que l'état de spin 1/2 peut être caractérisé par le rapport des deux nombres complexes ${\displaystyle u=b/a}$[13]. Si cette valeur est projetée sur une sphère de Riemann, qui permet de représenter l'ensemble des nombres complexes, il est possible d'établir une correspondance entre un état de spin et une direction dans l'espace ordinaire.

Selon cette représentation, tout état quantique ${\displaystyle |\nearrow \rangle }$ d'un spin s=1/2 correspond à un point sur la sphère dont la projection stéréographique sur le plan complexe (le plan équatorial de la sphère) est ce rapport u. Ce point définit un vecteur correspondant à l'orientation de la polarisation d'un ensemble de spins placés dans le même état ${\displaystyle |\nearrow \rangle }$ (voir #Signification physique du vecteur d'orientation du spin).

Représentation de la direction moyenne (ou « polarisation ») du moment angulaire d'un spin s=1/2 par rapport à un axe z choisi arbitrairement comme axe de quantification

Une autre représentation est possible, celle de la sphère de Bloch.

Dans cette représentation, les coefficients a et b sont définis en utilisant des coordonnées angulaires sphériques[14] - [15] :

${\displaystyle a=\cos(\theta /2)}$

${\displaystyle b=\sin(\theta /2)e^{i\varphi }}$

Le vecteur représentant l'état ${\displaystyle \vert \nearrow \rangle }$ est alors représenté comme sur la figure ci-contre. Cette représentation est bien entendu parfaitement équivalente à la représentation précédente sur une sphère de Riemann, pour laquelle le rapport u vaut :

${\displaystyle u=b/a=\tan(\theta /2)e^{i\varphi }}$

Les représentations précédentes n'indiquent pas explicitement la direction proprement dite du spin (laquelle est indéterminée, comme il a été dit plus haut), mais plus exactement la direction moyenne d'un spin préparé expérimentalement dans un état particulier ${\displaystyle |\nearrow \rangle }$, sur lequel un grand nombre de mesures seraient réalisées, ou bien encore peut représenter celle d'un ensemble statistiquement significatif de particules placées dans le même état, sur lequel un nombre réduit de mesures (voire une seule) seraient faites. Ces deux types de protocoles de mesures donnent le même résultat, d'après le principe ergodique de Gibbs.

Pour un système préparé dans un état quantique de spin quelconque, il n'est possible de décrire les trois projections d'un moment angulaire spin sur trois axes orthogonaux que par des valeurs moyennes[16]:

${\displaystyle \langle S_{i}\rangle =\langle \nearrow |{\hat {S}}_{i}|\nearrow \rangle \qquad i=x,y,z}$

Le vecteur ${\displaystyle {\vec {S}}}$ défini par les trois projections ${\displaystyle {\big (}\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle {\big )}}$ décrit une « direction » vers laquelle pointe la direction moyenne du moment angulaire du spin, et qu'il est judicieux d'appeler polarisation[17]. C'est exactement l'orientation de ce vecteur qui a été représentée précédemment sur la sphère de Riemann ou de Bloch. Il s'avère que ce vecteur de polarisation du spin a une signification physique pratique, notamment en spectroscopie de résonance magnétique nucléaire (RMN). Dans cette technique, les spins des protons (ou de tout autre noyau atomique possédant un spin non nul) peuvent être préparés dans n'importe quel état donné. Par exemple, si le système de spin est placé dans un champ magnétique homogène, la polarisation moyenne à l'équilibre thermodynamique correspond à l'état ${\displaystyle |\uparrow \rangle }$. L'application d'impulsions radiofréquence choisies permet ensuite de polariser les spins dans n'importe quelle autre direction de l'espace[17]. Le signal RMN maximum est obtenu lorsque la bobine de détection est orientée selon la direction de cette polarisation. Dans le cas de l'électron, la spectroscopie de résonance paramagnétique électronique (RPE) est fondée sur exactement les mêmes principes.

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge ${\displaystyle q}$ et de masse ${\displaystyle m}$ est associé un moment magnétique orbital :

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{L}\ =\ {\frac {q}{2m}}\ {\vec {L}}}$

Le facteur ${\displaystyle q/2m}$ est appelé rapport gyromagnétique. De même, on associe à une particule de charge ${\displaystyle q}$, de masse ${\displaystyle m}$, et de spin donné un moment magnétique de spin :

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}\ =\ g\ {\frac {q}{2m}}\ {\vec {S}}}$

où ${\displaystyle g}$ est un nombre sans dimension, appelé facteur de Landé (1921). Ce nombre varie selon la nature de la particule : on a approximativement ${\displaystyle g=2}$ pour l'électron, ${\displaystyle g=5,586}$ pour le proton, et ${\displaystyle g=-\,3,826}$ pour le neutron[18]. On trouve aussi des valeurs moitié pour le proton et le neutron qui correspondraient à un moment magnétique anomal.

Pour l'électron, on a les valeurs suivantes : ${\displaystyle s=1/2}$ et ${\displaystyle g=2,002}$ ; on introduit alors le « quantum magnétique » suivant, appelé magnéton de Bohr :${\displaystyle \mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m_{e}}}}$

L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à : ${\displaystyle g=2}$. Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut :

${\displaystyle g\ \simeq \ 2,002\ 319\ 304\ 373\ 7}$

Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium[19] : on parle alors du moment magnétique anomal de l'électron. La théorie quantique des champs du modèle standard permet de rendre compte de cette anomalie avec une très grande précision.

• Wolfgang Pauli ; Zeitschrift fur Physik 31 (1925) 373.
• George E. Uhlenbeck et Samuel Goudsmit ; Naturwissenschaften 13 (1925) 953.
• Samuel Goudsmit et George E. Uhlenbeck ; Nature 117 (1926) 264.
• Sin-Itiro Tomonaga ; The story of spin, The university of Chicago press (1997), (ISBN 0-226-80794-0). Traduction anglaise d'un ouvrage paru en japonais en 1974.
• Marc Knecht ; The anomalous magnetic moments of the electron and the muon, séminaire Poincaré (Paris, 12 octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.) ; Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), (ISBN 3-7643-0579-7).

• Animation, applications et recherches liées au spin