Moment cinétique orbital

Le moment cinétique orbital correspond à la rotation d'une particule autour d'un noyau, comme la rotation d'un électron autour d'un noyau dans un atome.

On différencie le moment cinétique orbital du moment cinétique intrinsèque, interprétable par la rotation d'une particule élémentaire sur elle-même (on parle de spin de l'électron, par exemple).

Tout moment cinétique est quantifié en mécanique quantique (voir l'article moment cinétique quantique), c’est-à-dire que le moment cinétique ne peut prendre que des valeurs discrètes bien précises. C'est une des propriétés fondamentales de la théorie quantique.

L'opérateur de moment cinétique orbital est noté ${\displaystyle {\hat {L}}}$ et on le définit par la relation suivante (analogue à celle de la mécanique classique) :

${\displaystyle {\hat {L}}={\hat {R}}\wedge {\hat {P}}}$ représentant un produit vectoriel.

${\displaystyle {\hat {R}}}$ est l'opérateur position et ${\displaystyle {\hat {P}}}$ l'opérateur impulsion, qui a pour composantes cartésiennes en représentation position :

• ${\displaystyle {\hat {P}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$
• ${\displaystyle {\hat {P}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}}$
• ${\displaystyle {\hat {P}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}}$

En représentation position, les composantes cartésiennes de l'opérateur ${\displaystyle {\hat {R}}}$ sont simplement :

• ${\displaystyle {\hat {R}}_{x}=x}$
• ${\displaystyle {\hat {R}}_{y}=y}$
• ${\displaystyle {\hat {R}}_{z}=z}$

D'après ces définitions, les composantes cartésiennes de l'opérateur de moment cinétique orbital s'écrivent :

• ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}={\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$
• ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}={\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}={\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}$

On peut alors calculer les commutateurs de ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}}$, ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}}$ et ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ :

• ${\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}}$
• ${\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}}$
• ${\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}}$

L'opérateur de moment cinétique total noté ${\displaystyle {\hat {J}}}$ est la somme vectorielle de l'opérateur de moment cinétique orbital noté ${\displaystyle {\hat {L}}}$ et de l'opérateur de spin (moment cinétique intrinsèque) noté ${\displaystyle {\hat {S}}}$.

${\displaystyle {\hat {J}}={\hat {L}}+{\hat {S}}}$

• Moment cinétique en mécanique classique
• Moment cinétique quantique
• Spin