Hypothèse ergodique

Soit un système à ${\displaystyle N}$ degrés de liberté décrits à l'instant ${\displaystyle t}$ par :

• les ${\displaystyle N}$ coordonnées généralisées ${\displaystyle q^{i}(t)}$, ${\displaystyle (i=1,...,N)}$

• les ${\displaystyle N}$ moments conjugués ${\displaystyle p_{j}(t)}$, ${\displaystyle (j=1,...,N)}$.

À chaque instant, les ${\displaystyle 2N}$ coordonnées ${\displaystyle (q^{i}(t),p_{j}(t))}$ définissent un point ${\displaystyle x(t)}$ dans l'espace des phases ${\displaystyle \Gamma }$. Ce point représente l'état du système à cet instant ${\displaystyle t}$.

On considère de plus que le système est à l'équilibre, c'est-à-dire que ses propriétés sont invariantes dans le temps. Un tel système satisfait toujours à la conservation de l'énergie qui s'écrit :

${\displaystyle \forall \ t,\quad H(q^{i}(t),p_{j}(t))\ =\ E}$

de telle sorte que sa dynamique est toujours restreinte à une hypersurface ${\displaystyle S_{E}\subset \Gamma }$ à ${\displaystyle 2N-1}$ dimensions. On supposera dans la suite que le système hamiltonien considéré est invariant par translation dans le temps et qu'il ne possède pas d'autre constante du mouvement que l'énergie[4].

L'évolution dynamique du système selon les équations canoniques de Hamilton à partir d'une condition initiale ${\displaystyle x_{0}\ =\ (q_{0}^{i},p_{j0})}$ engendre le flot hamiltonien ${\displaystyle \phi _{t}:\Gamma \to \Gamma }$, c'est-à-dire le groupe continu à un paramètre tel que :

${\displaystyle x(t)\ =\ \phi _{t}(x_{0})}$

La succession des positions ${\displaystyle x(t)}$ dans l'espace des phases est une courbe continue, appelée orbite.

À une grandeur physique mesurable correspond une fonction sur l'espace des phases qui à chaque point, correspondant à un état du système, associe une valeur. On notera ${\displaystyle f}$ cette fonction. Il existe deux valeurs moyennes distinctes pour cette grandeur. On peut faire une moyenne temporelle en faisant la moyenne d'une série de mesures effectuées sur un temps suffisamment long. Mathématiquement, on la représente par la limite (si elle existe) :

${\displaystyle {\overline {f(x_{0})}}\ =\ \lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f\left(\phi _{t}(x_{0})\right)dt}$.

Cette valeur moyenne dépend a priori de la condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$.

On peut également définir la moyenne d'ensemble de ${\displaystyle f}$, ou moyenne microcanonique, par :

${\displaystyle \langle \ f\ \rangle \ =\ {\frac {1}{\mu (X)}}\ \int _{X}f\,d\mu }$,

où ${\displaystyle \mu }$ est une mesure sur l'espace des phases.

La moyenne d'ensemble et la moyenne temporelle n'ont a priori pas de raison d'être égales. L'hypothèse ergodique consiste à supposer qu'elles le sont.

L'évolution du système dans le temps est déterminé par le flot hamiltonien, c'est-à-dire l'application ${\displaystyle \phi }$. Cette application sera dite ergodique pour une mesure donnée si et seulement si tout ensemble mesurable invariant sous ${\displaystyle \phi }$ est de mesure nulle, ou de complémentaire de mesure nulle.

Le théorème de Birkhoff montre alors que lorsque l'application ${\displaystyle \phi }$ est ergodique, moyenne spatiale et moyenne temporelle sont effectivement égales presque partout.

Le théorème de Birkhoff présenté ci-dessus permet de formuler l'hypothèse ergodique non plus comme une égalité de moyenne, mais en fonction des propriétés du flot hamiltonien ${\displaystyle \phi }$, c'est-à-dire de l'évolution du point représentatif du système dans l'espace des phases.

On peut alors distinguer deux hypothèses ergodiques distinctes :

Un système hamiltonien invariant par translation dans le temps sera dit ergodique au sens fort si le point représentatif de ce système passe au cours du temps par chaque point de l'hypersurface d'énergie constante.

Un système hamiltonien invariant par translation dans le temps sera dit ergodique au sens faible si le point représentatif de ce système passe au cours du temps aussi près que l'on veut de chaque point de l'hypersurface d'énergie constante.

Boltzmann et Maxwell utilisèrent dans leurs travaux les deux énoncés de façon indifférenciée[5]. La non-équivalence mathématique des deux hypothèses ergodiques précédentes n'a été reconnue explicitement qu'en 1910 par Paul Hertz[6].

Utilisant les résultats de la théorie des ensembles de Cantor d'une part, et de la théorie de la mesure de Lebesgue d'autre part, les deux mathématiciens Plancherel et Rosenthal ont démontré indépendamment le théorème suivant[7] :

En revanche, il a été démontré depuis que certains systèmes pouvaient être ergodiques au sens faible ; cf. l'article théorie ergodique.

• Anouk Barberousse, La Mécanique Statistique : De Clausius à Gibbs, Paris, Belin, coll. « Histoire des Sciences », 2002, 239 p. (ISBN 978-2-7011-3073-6 et 2-7011-3073-5), « L'hypothèse ergodique : une histoire souterraine », p. 144-149

• (en) Paul Ehrenfest et Tatiana Ehrenfest, The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, New York, Dover Inc., 1990, 114 p. (ISBN 978-0-486-66250-3 et 0-486-66250-0, LCCN 89077772, lire en ligne)
  Réédition d'un article classique paru initialement en allemand en 1912. Niveau second cycle universitaire. Il en a existé une traduction française, réalisée par le mathématicien Émile Borel : Encyclopédie des Sciences Mathématiques 4(1.1) (1915) 188.

• Stephen G. Brush, The Kind of Motion we call Heat - A History of the Kinetic Theories of Gases in the 19th Century (2 vols.), North-Holland (1976). Tome 2 : Statistical Physics and Irreversible Processes, (ISBN 0-444-87009-1).
  Histoire érudite du développement de la théorie cinétique des gaz, par un professeur de Mécanique des Fluides de l'Université du Maryland (États-Unis). Niveau second cycle universitaire.

• (en) Gérard Emch et Chuang Liu, The logic of thermo-statistical physics, Berlin, Springer-Verlag, 2002, 703 p. (ISBN 978-3-540-41379-0 et 3-540-41379-0, lire en ligne)

• (en) A.I. Khinchin, Mathematical Foundations of Statistical Mechanics, Douvres, DoverPublication, Inc., 1949, 179 p., poche (ISBN 978-0-486-60147-2 et 0-486-60147-1, LCCN 49009707, lire en ligne)
  Ouvrage classique sur les fondements de la physique statistique, notamment l'hypothèse ergodique. Niveau second cycle universitaire.

• (en) Carlo Cercignani, Ludwig Boltzmann : The man who Trusted Atoms, Oxford, Oxford University Press, 1998, 1^re éd., 329 p. (ISBN 978-0-19-850154-1 et 0-19-850154-4, LCCN 98017743, lire en ligne)
  Biographie scientifique du grand professeur Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmée. Par un professeur de Physique Mathématique de l'Université de Milan (Italie), spécialiste de l'"équation de Boltzmann". Niveau plutôt second cycle universitaire.

• Giovanni Gallavotti, Ergodicity, ensembles, irreversibility in Boltzmann and beyond, (1994). Texte complet disponible sur l'ArXiv : chao-dyn/9403004.

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