Interaction spin-orbite

L'énergie d'un moment magnétique dans un champ magnétique est donnée par :

${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$

où μ est le moment magnétique de la particule et B est la valeur du champ magnétique de l'expérience.

Traitons d'abord du champ magnétique. Bien que dans le référentiel au repos du noyau, il n'y ait aucun champ magnétique, il y en a un dans le référentiel au repos de l'électron. En ne tenant pas compte pour le moment que ce référentiel ne soit pas galiléen, on traite l'équation :

${\displaystyle \mathbf {B} =-{\mathbf {v} \times \mathbf {E} \over c^{2}},}$

où v est la vitesse de l'électron et E le champ électrique traversé. On sait que E est radial, on peut réécrire ${\displaystyle \mathbf {E} =\left|{E \over r}\right|\mathbf {r} }$. On sait aussi que la quantité de mouvement de l'électron est ${\displaystyle \mathbf {p} =m_{e}\mathbf {v} }$. En y introduisant ces quantités et en changeant l'ordre du produit vectoriel, on a :

${\displaystyle \mathbf {B} ={\mathbf {r} \times \mathbf {p} \over m_{e}c^{2}}\left|{E \over r}\right|.}$

Puis on exprime le champ électrique comme le gradient du potentiel électrique ${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V}$. On effectue ici l'approximation du champ central en considérant que le potentiel électrostatique a une symétrie sphérique, donc qu'il est fonction du seul rayon. Cette approximation est vérifiée pour l'hydrogène, et par conséquent pour les systèmes hydrogénoïdes. On peut alors dire que :

${\displaystyle \left|E\right|={\partial V \over \partial r}={1 \over e}{\partial U(r) \over \partial r},}$

où ${\displaystyle U=V.e}$ est l'énergie potentielle de l'électron dans un champ central, et e est sa charge élémentaire. D'après la mécanique classique, le moment angulaire d'une particule est ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$. Par substitution, on a alors :

${\displaystyle \mathbf {B} ={1 \over m_{e}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}\mathbf {L} .}$

Il est important de noter qu'à ce moment, B est égal à un nombre positif factorisant L, ce qui signifie que le champ magnétique est parallèle au moment angulaire orbital de la particule.

Le moment magnétique d'un électron est :

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{\rm {B}}\mathbf {S} /\hbar ,}$

où ${\displaystyle \mathbf {S} }$ est le vecteur du moment angulaire de spin, ${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$ est le magnéton de Bohr et ${\displaystyle g_{s}\approx 2}$ est le facteur g de spin électronique. Ici, ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ est égal à une constante négative multipliée par le spin, donc le moment magnétique est antiparallèle au moment angulaire de spin.

L'énergie d'interaction est :

${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$

Effectuons quelques substitutions :

${\displaystyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ={2\mu _{\rm {B}} \over \hbar m_{e}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}(\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} )}$.

On n'a jusqu'à présent pas pris en compte le fait que le référentiel électronique soit non galiléen. Cet effet est appelé précession de Thomas et introduit un facteur ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. On a alors :

${\displaystyle -\mathbf {\mu } \cdot \mathbf {B} ={\mu _{\rm {B}} \over \hbar m_{e}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}(\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} )}$.

Grâce aux approximations ci-dessus, on peut évaluer exactement le décalage en énergie dans ce modèle. En particulier, on souhaite trouver une base qui diagonalise à la fois H₀ (hamiltonien non perturbé) et ΔH. Afin d'identifier cette base, on définit en premier lieu l'opérateur de moment angulaire total :

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$

En prenant le produit scalaire de cette expression sur elle-même, on a :

${\displaystyle J^{2}=L^{2}+S^{2}+2\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$

(puisque L et S commutent), puis :

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={1 \over 2}(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2})}$.

On peut montrer que les cinq opérateurs H₀, J², L², S² et J_z commutent tous les uns avec les autres, ainsi qu'avec ΔH. Ainsi, la base que l'on recherche est la base propre des cinq opérateurs simultanément (donc la base dans laquelle ces cinq opérateurs sont diagonaux). Les éléments de cette base ont les cinq nombres quantiques : n (nombre quantique principal), j (nombre quantique du moment angulaire total), l (nombre quantique du moment angulaire orbital), s (nombre quantique de spin) et j_z (la composante z du moment angulaire total).

Pour le calcul des énergies, on note que

${\displaystyle \left\langle {1 \over r^{3}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}}$

pour les fonctions d'onde hydrogénoïdes (ici ${\displaystyle a=\hbar /Z\alpha m_{e}c}$ est le rayon de Bohr divisé par la charge nucléaire Z), et

${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )}$

${\displaystyle ={\hbar ^{2} \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))}$.

On a alors :

${\displaystyle \Delta E={\beta \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))}$,

où

${\displaystyle \beta ={-\mu _{\rm {B}}\hbar \over m_{e}ec^{2}}\left\langle {1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}\right\rangle }$.

Pour l'hydrogène, on peut écrire le résultat explicite :

${\displaystyle \beta (n,l)={\mu _{0} \over 4\pi }g_{s}\mu _{\rm {B}}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}}$.

Pour tout atome mono-ionisé à Z protons :

${\displaystyle \beta (n,l)=Z^{4}{\mu _{0} \over 4\pi }g_{s}\mu _{\rm {B}}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}}$.