Commutateur (opérateur)

Soit ${\displaystyle (G,\star )}$ un groupe et soient ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ deux éléments du groupe. On appelle commutateur de ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ l'élément du groupe défini par :

${\displaystyle [g,h]=g\star h\star g^{-1}\star h^{-1}}$.

Remarque : Un commutateur représente en fait le défaut de « permutabilité » de deux éléments du groupe :

${\displaystyle g\star h=[g,h]\star h\star g}$.

Le commutateur est égal à l'élément neutre du groupe si et seulement si ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ sont permutables (c'est-à-dire si ${\displaystyle g\star h=h\star g}$).

D'autre part, le sous-groupe engendré par l'ensemble des commutateurs est appelé le groupe dérivé noté ${\displaystyle D(G)}$ ou le sous-groupe des commutateurs de ${\displaystyle G}$.

Si ${\displaystyle D(G)}$ est réduit à l'élément neutre alors le groupe ${\displaystyle G}$ est un groupe abélien.

Remarquons que nous devons considérer le sous-groupe engendré par les commutateurs parce qu'en général l'ensemble des commutateurs n'est pas fermé pour cette loi. Les commutateurs sont utilisés pour définir les groupes nilpotents.

Note : Certains auteurs préfèrent définir le commutateur de ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ par

${\displaystyle [g,h]=g^{-1}\star h^{-1}\star g\star h}$.

Dans la suite, la loi ${\displaystyle \star }$ est notée multiplicativement et l'expression ${\displaystyle a^{x}}$ désigne le conjugué (par ${\displaystyle x}$) de l'élément ${\displaystyle a}$ c'est-à-dire ${\displaystyle xax^{-1}}$.

• ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}}$
• ${\displaystyle [[x,y^{-1}],z]^{y}[[y,z^{-1}],x]^{z}[[z,x^{-1}],y]^{x}=1}$
• ${\displaystyle [xy,z]=[y,z]^{x}[x,z]}$
• ${\displaystyle [x,yz]=[x,y][x,z]^{y}}$

La deuxième identité est aussi connue sous le nom d'identité de Hall-Witt. Il s'agit d'une identité de la théorie des groupes analogue à l'identité de Jacobi de la théorie des commutateurs dans les anneaux (voir la section suivante).

Le commutateur de deux éléments ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ d'un anneau est défini par

${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$.

Il est nul si et seulement si ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont permutables.

En utilisant le commutateur comme un crochet de Lie, toute algèbre associative sur un corps peut être considérée comme une algèbre de Lie. Le commutateur de deux opérateurs sur un espace de Hilbert est un concept important en mécanique quantique puisqu'il mesure à quel point deux descriptions d'observables par des opérateurs peuvent être mesurés simultanément. Le principe d'incertitude est finalement un théorème sur les commutateurs.

De même, l'anticommutateur est défini comme ${\displaystyle ab+ba}$, souvent écrit noté ${\displaystyle \{a,b\}}$. Ceci ne doit pas être confondu avec le crochet de Poisson.

Un commutateur vérifie les propriétés suivantes :

Relation d'algèbre de Lie :

• ${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$
• ${\displaystyle [a,b+c]=[a,b]+[a,c]}$
• ${\displaystyle [a,a]=0}$
• ${\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0}$

Relations supplémentaires :

• ${\displaystyle \left[ab,c\right]=abc-cab=(abc-acb)+(acb-cab)=a\left[b,c\right]+\left[a,c\right]b}$dont on déduit ${\displaystyle [a^{n},b]=\sum _{0\leq k<n}a^{k}\left[a,b\right]a^{n-1-k}}$ (par récurrence)
• ${\displaystyle [a,bc]=[ab,c]+[ca,b]}$
• ${\displaystyle [abc,d]=ab[c,d]+a[b,d]c+[a,d]bc}$

Si ${\displaystyle a}$ est un élément donné d'un anneau ${\displaystyle A}$, la première des trois relations supplémentaires peut aussi être interprétée comme la règle de dérivation d'un produit d'une application ${\displaystyle \operatorname {ad} (a):=[a,\cdot ]:A\to A}$. En d'autres termes, l'application ${\displaystyle \operatorname {ad} (a)}$ définit une dérivation sur l'anneau ${\displaystyle A}$.

Si ${\displaystyle a}$ est nilpotent, cette dérivation ${\displaystyle \operatorname {ad} (a)}$ l'est aussi. Plus précisément : si ${\displaystyle a^{n}=0}$ alors ${\displaystyle \operatorname {ad} (a)^{n}=0}$[1].

Dans une algèbre graduée, on remplace le commutateur usuel par le « commutateur gradué », défini sur les composantes homogènes par${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Outre les identités valables dans tout anneau, ce commutateur vérifie[3] :

• ${\displaystyle [{\hat {A}},\lambda {\hat {B}}]=[\lambda {\hat {A}},{\hat {B}}]=\lambda [{\hat {A}},{\hat {B}}],\lambda \in \mathbf {C} }$
• ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]^{\dagger }=[{\hat {B}}^{\dagger },{\hat {A}}^{\dagger }]}$ où ${\displaystyle {\hat {A}}^{\dagger }}$ désigne l'opérateur adjoint de ${\displaystyle {\hat {A}}}$.