Opérateur adjoint
En mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a.
Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie.
Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet, l'adjoint est toujours défini. Ainsi dans le cas de la dimension finie, l'adjoint de tout opérateur est bien défini. L'application qui à un opérateur associe son adjoint est une isométrie semi-linéaire et involutive.
La notion d'adjoint permet de dĂ©finir un ensemble d'opĂ©rateurs possĂ©dant une compatibilitĂ© particuliĂšre vis-Ă -vis du produit scalaire, les opĂ©rateurs commutant avec leur adjoint. Ils sont alors dits normaux. Parmi ces opĂ©rateurs, on distingue trois cas particuliers importants, celui d'un opĂ©rateur autoadjoint (adjoint de lui-mĂȘme), antiautoadjoint (adjoint de son opposĂ©) et unitaire (inverse de son adjoint). Sur un espace vectoriel rĂ©el, les termes utilisĂ©s sont respectivement : symĂ©trique, antisymĂ©trique et orthogonal. Sur un espace vectoriel complexe, on dit respectivement : hermitien (ou hermitique), antihermitien (ou antihermitique) et unitaire.
La notion d'adjoint d'un opĂ©rateur possĂšde de nombreuses applications. En dimension finie et sur le corps des nombres complexes, la structure des endomorphismes normaux est simple, ils sont diagonalisables dans une base orthonormale. Le cas de la dimension infinie est plus complexe. Il est important en analyse fonctionnelle. Le cas autoadjoint est particuliĂšrement Ă©tudiĂ©, il fournit le cadre le plus simple de la thĂ©orie spectrale, qui est elle-mĂȘme au cĆur de la mĂ©canique quantique. En thĂ©orie des opĂ©rateurs, une C*-algĂšbre est un espace de Banach muni d'une loi de composition interne analogue Ă la composition des opĂ©rateurs et d'une opĂ©ration Ă©toile ayant les mĂȘmes propriĂ©tĂ©s que l'application qui Ă un opĂ©rateur associe son adjoint.
DĂ©finitions
L'adjoint d'un opĂ©rateur est une notion correspondant Ă des situations fort diffĂ©rentes. Elle peut ĂȘtre appliquĂ©e dans le cas d'un espace euclidien ou hermitien, c'est-Ă -dire en dimension finie. Elle est aussi utilisĂ©e dans le contexte le plus simple de l'analyse fonctionnelle, c'est-Ă -dire dans un espace de Hilbert ou un espace prĂ©hilbertien. Elle peut enfin s'appliquer dans un cadre trĂšs gĂ©nĂ©ral sur des espaces de Banach. Pour cette raison, deux dĂ©finitions se cĂŽtoient.
Préhilbertien
Cette dĂ©finition couvre dans la pratique deux cadres thĂ©oriques un peu diffĂ©rents. Celui de la dimension finie et celui oĂč aucune hypothĂšse n'est faite sur la dimension. Il correspond aussi Ă un premier cas d'analyse fonctionnelle, le plus simple. En gĂ©nĂ©ral l'espace vectoriel choisi est un espace de Hilbert, c'est-Ă -dire un espace prĂ©hilbertien complet. Comme il est relativement facile de complĂ©ter un espace prĂ©hilbertien et que les thĂ©orĂšmes dont on dispose sont beaucoup plus nombreux, ce cadre est largement utilisĂ©. Une unique dĂ©finition permet de couvrir ces deux cas :
Soit H un espace prĂ©hilbertien sur un corps K Ă©gal Ă celui â des rĂ©els ou â des complexes. Le produit scalaire est notĂ© (â |â ) dans cet article. Soient a et a* deux opĂ©rateurs sur H, c'est-Ă -dire deux applications linĂ©aires de H dans lui-mĂȘme.
DĂ©finition[1] â L'opĂ©rateur est dit adjoint de si :
C*-algĂšbre
Comme la suite de l'article le montre l'application *, qui Ă un endomorphisme associe son adjoint, est une application semi-linĂ©aire de l'espace des endomorphismes. Cet espace dispose, avec la composition des endomorphismes, d'une structure d'algĂšbre. Une application *, disposant des mĂȘmes caractĂ©ristiques que l'application adjointe et dĂ©finie sur une algĂšbre est le cadre d'une structure appelĂ©e C*-algĂšbre. L'image d'un Ă©lĂ©ment a par l'application * est appelĂ© adjoint de a[2].
Banach
En analyse fonctionnelle, tous les espaces ne disposent pas d'un produit scalaire. L'approche par les adjoints reste néanmoins fructueuse. L'opérateur a dispose de propriétés plus pauvres que celles du paragraphe précédent.
Dans le cas général, il n'est plus borné, c'est-à -dire qu'il n'existe pas nécessairement de majorant de la norme de l'image d'un vecteur de la boule unité. Ainsi la dérivée d'une fonction de la variable réelle dans l'ensemble réel à support compact, infiniment différentiable et majorée en valeur absolue par un n'est pas majorée par une constante indépendante de la fonction. Cet espace muni de la norme de la convergence uniforme est important pour la définition des distributions. La dérivée est un opérateur linéaire non borné qui joue un grand rÎle en analyse fonctionnelle.
Un opĂ©rateur a n'est pas nĂ©cessairement dĂ©fini sur tout le Banach. Ainsi l'opĂ©rateur de dĂ©rivation n'est pas dĂ©fini sur toute fonction de ]â1/2, 1/2[ dans â et intĂ©grable en valeur absolue. Pour la mĂȘme raison que celle du paragraphe prĂ©cĂ©dent, il est nĂ©anmoins utile de considĂ©rer cet opĂ©rateur.
Dans ce paragraphe, E et F dĂ©signe deux Banach, a un opĂ©rateur non bornĂ© de E dans F, E* et F* dĂ©signent les duaux topologiques de E et F. Dans la suite de l'article le terme dual signifie dual topologique. Il est en effet plus utilisĂ© que le dual algĂ©brique dans ce contexte. Le terme D(a) dĂ©signe le domaine de a, c'est-Ă -dire le sous-espace vectoriel sur lequel a est dĂ©fini. Il est supposĂ© dense dans E. La notation ăâ , â ăE (resp. ăâ , â ăF) dĂ©signe le crochet de dualitĂ©, il correspond Ă l'application bilinĂ©aire de E*ĂE (resp. F*ĂF) qui Ă un couple formĂ© d'une forme linĂ©aire et d'un vecteur de E (resp. F) associe un scalaire.
DĂ©finition â Le domaine notĂ© D(a*) de l'opĂ©rateur adjoint de a est le sous-ensemble de F* suivant :
Cette définition permet la suivante :
DĂ©finition[3] â L'opĂ©rateur adjoint a* de a est l'opĂ©rateur de D(a*) dans E* vĂ©rifiant l'Ă©galitĂ© :
Il est fréquent que E et F soient confondus ; l'adjoint est alors un opérateur de E*.
Espace de Hilbert
On suppose dans toute cette section que H est un espace de Hilbert, c'est-à -dire un espace préhilbertien complet. Dans ce cas, le dual topologique s'identifie avec l'espace H. Les résultats obtenus dans le cas des formes bilinéaires s'appliquent sans beaucoup de modifications.
Le cas de la dimension finie est un peu plus simple car toute application linéaire est continue et l'isomorphisme entre l'espace et son dual est plus évident. Une approche plus didactique est disponible dans l'article Espace euclidien pour le cas réel et Espace hermitien pour le cas complexe.
Remarque : Dans le cas oĂč le corps sous-jacent Ă H est celui des complexes, le produit scalaire est sesquilinĂ©aire. La convention choisie dans l'article est que la forme est linĂ©aire pour la premiĂšre variable et semi-linĂ©aire pour la seconde. Le conjuguĂ© d'un scalaire λ est notĂ© λ. Par dĂ©faut, les Ă©noncĂ©s sont donnĂ©s pour les espaces complexes. Ils restent vrais pour les rĂ©els et l'application conjuguĂ© devient l'identitĂ©.
Existence (et unicité)
- Tout opérateur borné a sur H admet un (unique) adjoint.
En effet, soit y un vecteur de H, l'application qui à un vecteur x associe (a(x)|y) est une forme linéaire continue. Le théorÚme de représentation de Riesz garantit alors l'existence d'un (unique) vecteur z tel que cette forme linéaire continue coïncide avec l'application qui à x associe (x|z). L'application a* qui à y associe z est alors l'adjoint de a. - Réciproquement, si deux applications quelconques vérifient
alors a, a* sont toutes deux linéaires et continues[4] - [5].
- Exemple
- Pour tous vecteurs , l'adjoint de l'opérateur est l'opérateur .
Propriétés élémentaires
à beaucoup d'égards l'adjoint est une image miroir de l'opérateur.
- L'adjoint de l'opérateur a est linéaire.
Ce résultat (qui ne fait pas intervenir la linéarité de a) a été démontré plus haut.
En dimension finie, la matrice de l'adjoint de a est l'adjointe de la matrice de a. En effet, soit A la matrice de a dans une base orthonormée de H et X (resp. Y) la matrice d'un vecteur x (resp. y) de H.
- Si l'opérateur a est borné, alors l'adjoint l'est aussi et sa norme d'opérateur est égale à celle de a.
Le terme borné signifie ici que l'image de la boule unité est bornée. Un opérateur est borné si et seulement s'il est continu.
La continuité de l'adjoint a été démontrée plus haut sans supposer que a était borné, à l'aide du puissant théorÚme du graphe fermé. Sous l'hypothÚse que a est borné, la preuve est plus élémentaire : il suffit de remarquer que la norme de a ainsi que celle de l'adjoint est celle de la forme bilinéaire ou sesquilinéaire qui à x et y associe (a(x) | y) = (x | a*(y)).
- La norme de la composée de a et de son adjoint est égale au carré de celle de a :
Application adjointe
ThĂ©orĂšme â L'isomĂ©trie a ⊠a*, de â(H) dans lui-mĂȘme :
- vérifie
; - est semi-linéaire :
; - est involutive :
.
En tant qu'endomorphisme involutif d'espace vectoriel rĂ©el, c'est donc une symĂ©trie, c'est-Ă -dire qu'elle est diagonalisable de valeurs propres 1 et â1 (plus de dĂ©tails sont donnĂ©s dans le § « SymĂ©trie » de l'article sur la diagonalisation).
Un opérateur égal (resp. opposé) à son adjoint est dit hermitien ou autoadjoint (resp. antihermitien ou antiautoadjoint). Un tel opérateur est normal, c'est-à -dire qu'il commute avec son adjoint. Une autre famille d'opérateurs normaux est celle des automorphismes orthogonaux.
Les endomorphismes normaux d'un espace hermitien et les endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien sont diagonalisables.
Orthogonalité
Les propriétés d'orthogonalité associées aux formes bilinéaires sont présentes dans ce contexte :
- Le noyau de a* est l'orthogonal de l'image de a :
En effet, Un corollaire immĂ©diat â dĂ©montrable aussi matriciellement â est qu'en dimension finie a et a* ont mĂȘme rang car tout sous-espace vectoriel est alors fermĂ© donc son orthogonal est un supplĂ©mentaire.
En prenant l'orthogonal des deux membres on en déduit :
- L'orthogonal du noyau de a* est l'adhérence de l'image de a :
L'adhérence d'un ensemble E, notée E, est le plus petit fermé qui le contient. Par exemple si a* est injective, alors a possÚde une image dense dans H, ce qui, en dimension infinie, ne signifie pas que a est surjective. - Soit E un sous-espace stable par a, l'orthogonal de E est stable par a*.
En effet, soit y un Ă©lĂ©ment de l'orthogonal de E, son image par a* est orthogonale Ă E carEn dimension infinie, si E n'est pas fermĂ©, la rĂ©ciproque est fausse (par exemple si E est un hyperplan non fermĂ©, son orthogonal est toujours stable par a* â puisqu'il est rĂ©duit au vecteur nul â alors que E n'est pas stable par a en gĂ©nĂ©ral).
Spectre
Le spectre d'un opĂ©rateur a est l'ensemble des scalaires λ tel que l'application a â λId ne soit pas bijective (Id dĂ©signant l'application identitĂ©). En dimension finie le spectre est l'ensemble des valeurs propres. En dimension infinie il peut ĂȘtre plus large (voir les articles Spectre d'un opĂ©rateur linĂ©aire et Valeur spectrale).
- Le spectre de l'opérateur a* est le conjugué de celui de a.
Les propriétés du spectre se précisent si H est de dimension finie :
- Si H est de dimension finie, le déterminant (resp. le polynÎme caractéristique) de a* est le conjugué de celui de a.
- Si H est de dimension finie, le polynÎme minimal de a* est le conjugué de celui de a.
En consĂ©quence, si λ est valeur propre de multiplicitĂ© m de l'opĂ©rateur a (c'est-Ă -dire racine d'ordre m de son polynĂŽme caractĂ©ristique) alors le conjuguĂ© de λ est valeur propre de multiplicitĂ© m de l'opĂ©rateur a*, et de mĂȘme, si λ est racine d'ordre m du polynĂŽme minimal de a (ce qui Ă©quivaut Ă dire que m est le plus petit entier tel que le noyau de (a â λId)m soit Ă©gal au noyau de (a â λId)m+1), alors le conjuguĂ© de λ est racine d'ordre m du polynĂŽme minimal de a*.
Espace de Banach
Comparer avec l'article anglais en:Unbounded operator
De nombreuses propriĂ©tĂ©s, valables pour les Hilbert peuvent ĂȘtre gĂ©nĂ©ralisĂ©es. L'analyse de l'adjoint d'un opĂ©rateur dans le cadre plus gĂ©nĂ©ral des Banach possĂšde des analogies certaines avec le cas prĂ©cĂ©dent. Les techniques utilisĂ©es sont nĂ©anmoins un peu diffĂ©rentes. Dans ce paragraphe E et F dĂ©signent des Banach et a un opĂ©rateur non bornĂ© de E dans F.
Le terme « opérateur non borné » désigne une application linéaire sans précision sur le caractÚre continu de l'opérateur. Le mathématicien Haïm Brezis précise : Il peut donc arriver qu'un opérateur non borné soit borné. La terminologie n'est pas trÚs heureuse, mais elle est communément répandue et elle n'engendre pas de confusion ![6]
Existence et unicité
Comme précédemment, tout opérateur a admet un unique adjoint. Plus précisément :
Pour tout opérateur non borné a de D(a) dans F il existe un unique adjoint, et l'adjoint est linéaire.
La question se pose alors de savoir si D(a*) est dense dans le dual de F.
Si a est un opérateur fermé, alors pour la topologie faible du dual de F, D(a*) est dense dans le dual de F. Si de plus F est réflexif alors D(a*) est dense pour la topologie usuelle.
Continuité de l'adjoint
Le thĂ©orĂšme du graphe fermĂ© indique qu'un opĂ©rateur a est continu si et seulement si son graphe est fermĂ©. Le graphe de a est le sous-espace vectoriel de ExF formĂ© des points (x, a(x)) quand x parcourt D(a). Un opĂ©rateur ayant un graphe fermĂ© est dit fermĂ©, ce qui revient Ă dire bornĂ© ou continue. Pour une raison de style, il est plus frĂ©quent de parler d'un opĂ©rateur non bornĂ© fermĂ© que d'un opĂ©rateur non fermĂ© bornĂ©, mĂȘme si les significations sont identiques.
- Un opérateur non borné a à domaine dense possÚde un adjoint fermé.
Orthogonalité
Si a est fermé et possÚde un domaine dense, alors les propriétés d'orthogonalités correspondant à la situation hilbertienne restent vraies :
Le noyau de a est Ă©gal Ă l'orthogonal de l'image de a* et le noyau de a* est Ă©gal Ă l'orthogonal de l'image de a.
.
La situation diffÚre légÚrement pour l'orthogonal des noyaux.
L'orthogonal du noyau de a contient l'adhérence de l'image a* et l'orthogonal du noyau de a* est l'adhérence de l'image de a.
.
Si l'espace E est réflexif, alors l'orthogonal du noyau de a est égal à l'adhérence de l'image de a* ; dans le cas contraire, l'égalité n'est pas assurée.
Avec les hypothÚses de fermeture et de densité du domaine de a :
Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :
- L'image de a est fermée.
- L'image de l'adjoint de a est fermée.
- L'image de a est l'orthogonal du noyau de l'adjoint.
- L'image de l'adjoint est l'orthogonal du noyau de a.
Notes et références
Notes
- Cf. par exemple S. Lang, Analyse RĂ©elle, InterEditions, Paris, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4), p. 157.
- Jacques Dixmier, Les C*-algÚbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1964, rééd. J. Gabay, 1996 (ISBN 978-2-87647-013-2).
- Cf. par exemple Brezis, p. 27.
- Cette continuité est l'une des versions du théorÚme de Hellinger-Toeplitz (en) : R. E. Edwards, « The Hellinger-Toeplitz theorem », J. London Math. Soc., S. 1, vol. 32, no 4, 1957, p. 499-501.
- Ces deux propriétés sont démontrées par exemple dans .
- Brezis, p. 27.
Références
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : Cours et exercices, Dunod, 3e éd. 1998 (ISBN 978-210004004-9)
- Serge Lang, AlgÚbre [détail des éditions]
- Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, [détail des éditions]
- (en) Joram Lindenstrauss et Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces Vol I, Springer, 1996 (ISBN 978-354060628-4)
- (en) Gert Pedersen, C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, London, New-York, 1979 (ISBN 978-012549450-2)
Voir aussi
Article connexe
Liens externes
- L'adjoint d'un endomorphisme et ses propriétés par les A. Morame de l'Université de Nantes 2006. Ce cours traite du cas réel en dimension finie.
- Adjoint d'un endomorphisme d'un espace hermitien sur le site les-mathematiques.net, par C. Antonini & al. Ce cours traite du cas complexe essentiellement en dimension finie.
- Adjoint d'un endomorphisme Site de la société Cabrilog soutenu par le CNRS et l'Université Joseph Fourier de Grenoble. Il traite du cas euclidien de dimension deux.
- Analyse fonctionnelle et théorie spectrale B. Maurey Université de PARIS VII. Il correspond à un cours de maßtrise et traite du cas général sur les Banach.
- J.Ch. Gilbert, « Adjoint dâun opĂ©rateur »(Archive.org âą Wikiwix âą Archive.is âą Google âą Que faire ?), sur Inria. Ce texte ne traite que le cas des Banach.