Automorphisme orthogonal

Dans un plan euclidien, il existe deux types d'automorphismes orthogonaux :

• les rotations, qui admettent une matrice représentative de la forme suivante en base orthonormale

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{pmatrix}}}$.

Si l'espace est orienté, θ est l'angle de la rotation ;

• les réflexions ou symétries axiales. Dans une base orthonormale adaptée, elles sont représentées par la matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$.

Dans un espace euclidien de dimension 3, on trouve les trois types suivants :

• les rotations, ayant pour matrice représentative dans une base orthonormale adaptée

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\0&\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{pmatrix}}}$ ;

• les réflexions (symétries orthogonales par rapport à un plan)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$ ;

• les roto-réflexions, composées d'une rotation différente de l'identité et de la réflexion par rapport au plan normal à l'axe de cette rotation

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\0&\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{pmatrix}}}$.

Plus généralement, soit f un automorphisme orthogonal d'un espace euclidien E. Il existe[1] une base orthonormale dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs avec deux sortes de blocs :

• des blocs de taille 1 contenant 1 ou –1 (correspondant aux espaces propres réels).
• des blocs de taille 2 de la forme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$.

Dans cette décomposition, le nombre de –1 est pair si et seulement si f est un automorphisme orthogonal direct (de déterminant 1).

La preuve de ce résultat de décomposition peut se faire dans le cadre plus général des endomorphismes normaux.

Tout automorphisme unitaire d'un espace hermitien est diagonalisable dans une base orthonormée.