Espace hermitien

L'objectif est de généraliser la structure d'espace euclidien aux nombres complexes, qui offre l'avantage d'être un corps algébriquement clos. En contrepartie, il n'existe plus de relation d'ordre compatible avec les opérations du corps, et le carré d'un complexe est parfois négatif. Pour pallier cette difficulté, le produit scalaire n'est plus une forme bilinéaire mais une forme hermitienne.

Une forme hermitienne est une application 〈⋅, ⋅〉 de E×E dans ℂ telle que :

• pour tout x dans E, l'application φ_x de E dans ℂ définie par φ_x(y) = 〈y, x〉, est une forme linéaire et
• pour tous x et y dans E, ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$ (où ${\displaystyle {\bar {\cdot }}}$ représente la conjugaison).

En particulier, 〈x, x〉 est réel, et ${\displaystyle x\mapsto \langle x,x\rangle }$ est une forme quadratique sur E vu comme ℝ-espace vectoriel.

Notons aussi qu'une forme hermitienne avec cette définition est sesquilinéaire à droite[1].

Ce qui amène les définitions suivantes :

Dans ces conditions, la partie réelle ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left(\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ de 〈⋅, ⋅〉 est un produit scalaire euclidien pour la structure d'espace vectoriel réel obtenue par restriction, et la partie imaginaire une forme bilinéaire alternée non dégénérée, autrement dit une forme symplectique.

Le terme produit hermitien est synonyme de produit scalaire sur un espace vectoriel complexe.

Dans toute la suite de l'article E désigne un espace vectoriel complexe de dimension finie, ℂ le corps des nombres complexes, 〈⋅, ⋅〉 un produit scalaire sur E, choisi linéaire par rapport à la première variable et semi-linéaire par rapport à la seconde. La norme est notée ║∙║.

• L'espace vectoriel ℂⁿ, muni du produit scalaire canonique et de la norme associée, définis, pour x = (x₁, … , x_n) et y = (y₁, … , y_n), par${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+\ldots +x_{n}{\overline {y_{n}}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}{\text{ et }}\|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}},}$est un espace hermitien appelé espace hermitien canonique de dimension n.
• Sur l'espace vectoriel M_n(ℂ) des matrices carrées d'ordre n, identifié à ℂ⁽ⁿ²⁾, le produit scalaire canonique se réécrit donc :${\displaystyle \langle A,B\rangle =\sum _{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (AB^{*})}$où tr désigne la trace et B* désigne la matrice adjointe (ou transconjuguée) de B (c'est-à-dire la transposée de la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients B). La norme associée est appelée « norme de Frobenius ».
• L'espace vectoriel des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à n,
  • muni du produit scalaire${\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}}$est un espace hermitien, trivialement isomorphe à l'espace hermitien canonique de dimension n + 1.
  • muni d'un produit scalaire différent :${\displaystyle \langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t){\overline {Q(t)}}\ {\rm {d}}t}$est aussi un espace hermitien. Ce produit scalaire est celui de l'espace de Hilbert L²([0, 1]) (de dimension infinie), restreint au sous-espace des fonctions polynomiales (identifiées à des polynômes) de degré inférieur ou égal à n.
  • muni du produit scalaire (différent des deux précédents) :${\displaystyle \langle P,Q\rangle =\sum _{i=0}^{n}P(x_{i}){\overline {Q(x_{i})}}}$(où x₀, … , x_n sont n + 1 complexes distincts) est isomorphe à l'espace hermitien canonique de dimension n + 1, par l'application P ↦ (P(x₀), … , P(x_n)).

Les propriétés suivantes sont vérifiées dans tout espace préhilbertien complexe, de dimension non nécessairement finie. Certaines ne sont qu'une répétition des propriétés du produit scalaire réel Re(〈⋅, ⋅〉), qui a même norme associée que 〈⋅, ⋅〉.

À l'image de la situation réelle, les deux majorations classiques sont toujours vérifiées. Si x et y désignent deux vecteurs de E :

• l'inégalité de Cauchy-Schwarz : ${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}$ ;
• l'inégalité triangulaire : ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$
  Cette dernière montre que le troisième axiome de la définition d'une norme, dit de sous-additivité est vérifié. Les deux autres (séparation et homogénéité) le sont de manière évidente.
• Le développement du carré de la norme d'une somme,${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2{\rm {Re}}\left(\langle x,y\rangle \right),}$permet d'établir le théorème de Pythagore : si x et y sont orthogonaux, alors ${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}.}$
  À la différence de la situation euclidienne, la réciproque n'est plus vraie, puisqu'un produit scalaire peut ici être un imaginaire pur non nul.
• Le développement du carré de la norme de la somme de deux vecteurs montre la règle du parallélogramme, qui caractérise les normes issues d'un produit scalaire : ${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$
• ainsi que l'identité polaire : ${\displaystyle \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=2\langle x,y\rangle +2\langle y,x\rangle .}$
• L'identité de polarisation (formulée ici pour une forme sesquilinéaire à droite[1]), plus précise, montre que le produit scalaire est entièrement déterminé par la norme :${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}{\rm {i}}^{k}\|x+{\rm {i}}^{k}y\|^{2}.}$

La situation est exactement la même que celle d'un espace euclidien :

• toute famille orthonormale est libre ;
• si E est un espace hermitien de dimension n et B une base orthonormale de E alors, pour tous vecteurs u et v de E, de coordonnées x et y dans B, le produit scalaire 〈u, v〉 est égal au produit scalaire 〈x, y〉 dans l'espace hermitien canonique de dimension n. Autrement dit, la bijection linéaire de E dans ℂⁿ qui associe à tout vecteur ses coordonnées dans B respecte les deux produits scalaires et constitue ainsi un isomorphisme d'espaces hermitiens ;
• la preuve de l'inégalité de Bessel montre que si (f_i) est une base orthonormale d'un sous-espace vectoriel F de E, tout vecteur x de E admet un projeté orthogonal sur F, dont les coordonnées dans (f_i), appelés coefficients de Fourier, sont les 〈x, f_i〉 et vérifient${\displaystyle \sum |\langle x,f_{i}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}~;}$
• on en déduit l'algorithme de Gram-Schmidt, qui assure l'existence d'une base orthonormale.

Rappelons que dans cet article une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à droite[1] et à symétrie hermitienne.

La configuration est encore une fois analogue à celle des espaces euclidiens. Le produit scalaire fournit une application canonique φ de E dans son dual E* :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad \varphi _{x}:E\rightarrow \mathbb {C} \quad y\mapsto \varphi _{x}(y)=\langle y,x\rangle .}$

L'ordre est ici inversé par rapport à la convention choisie dans l'article sur l'espace euclidien. En effet, φ_x serait semi-linéaire dans le cas contraire, et on obtiendrait une bijection linéaire de E dans son antidual (espace vectoriel des formes semi-linéaires).

Avec l'ordre choisi, on a une bijection semi-linéaire φ de E dans son dual E*. Lorsque E* est muni de la norme duale, cette bijection est même une isométrie (d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz), ce qui prouve que cette norme est hermitienne, c'est-à-dire associée à un produit scalaire : celui défini par 〈φ(x), φ(y)〉 = 〈y, x〉.

On déduit de φ deux bijections ψ₁ et ψ₂, de l'espace L(E) des endomorphismes de E dans l'espace L_3/2(E) des formes sesquilinéaires à droite :

${\displaystyle \forall a\in {\rm {L}}(E)~\forall x,y\in E\quad \psi _{1}(a)(x,y)=\langle a(x),y\rangle {\text{ et }}\psi _{2}(a)(x,y)=\langle x,a(y)\rangle .}$

ψ₁ est linéaire et ψ₂ est semi-linéaire, donc la bijection composée ψ₂⁻¹∘ψ₁ est semi-linéaire. À un endomorphisme a elle associe l'endomorphisme a* appelé adjoint et défini par l'égalité suivante :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad \langle a(x),y\rangle =\langle x,a^{*}(y)\rangle .}$

Les endomorphismes égaux (resp. opposés) à leur adjoint sont dits hermitiens ou autoadjoints (resp. antihermitiens ou antiautoadjoints).

L'application semi-linéaire — donc ℝ-linéaire — L(E) → L(E), a ↦ a* est non seulement bijective (un semi-isomorphisme) mais involutive ((a*)* = a). Dans L(E) considéré comme un ℝ-espace vectoriel, c'est donc la symétrie par rapport au ℝ-sous-espace des endomorphismes hermitiens, par rapport à celui, supplémentaire, des antihermitiens.

Le produit scalaire hermitien sur un produit tensoriel, en particulier sur L(E) ≃ E*⊗E, se définit de façon analogue au cas euclidien. On obtient

${\displaystyle \langle a,b\rangle =\mathrm {Tr} (a\circ b^{*}).}$

La symétrie semi-linéaire a ↦ a* préserve la norme associée donc aussi le produit scalaire euclidien associé Re(〈⋅, ⋅〉) (cf. § « Définitions »).

Exemples

• On a (ia)* = –i(a*). Si a est hermitien, ia est antihermitien.
• Si A est la matrice de a par rapport à une base orthonormée, celle de l'adjoint est la matrice adjointe A*.
• Lorsque les endomorphismes sont représentés par des matrices dans une base orthonormée fixée, on retrouve ainsi le produit hermitien canonique sur M_n(ℂ).

• Soit E un espace hermitien. L'espace vectoriel réel E_ℝ qui s'en déduit par restriction des scalaires (en) est naturellement muni d'un produit scalaire euclidien 〈⋅, ⋅〉_ℝ = Re(〈⋅, ⋅〉). Si B = (e₁, … ,e_n) est une base de E et si i désigne l'unité imaginaire, alors B_ℝ = (e₁, … ,e_n, ie₁, … ,ie_n) est une base de E_ℝ, qui est donc de dimension 2n. De plus, si B est orthonormale pour 〈⋅, ⋅〉, alors B_ℝ est orthonormale pour 〈⋅, ⋅〉_ℝ.
• Réciproquement, soit F un espace euclidien de dimension n, il est possible de plonger F dans un espace hermitien de dimension n : le complexifié F_ℂ := ℂ⊗F de F, muni du produit scalaire hermitien obtenu en tensorisant celui de ℂ par le produit scalaire euclidien de F :${\displaystyle \forall \lambda \otimes x,\mu \otimes y\in F_{\mathbb {C} }\quad \langle \lambda \otimes x,\mu \otimes y\rangle _{F_{\mathbb {C} }}=\lambda {\overline {\mu }}\langle x,y\rangle _{F}.}$Si (f₁, ...,f_n) est une base orthonormale de F alors (1⊗f₁, … , 1⊗f_n) est une base orthonormale de F_ℂ. Il est fréquent d'identifier les vecteurs f_i et 1⊗f_i[2].

Ces deux constructions s'étendent au cadre des espaces préhilbertiens de dimension non nécessairement finie.

• Le produit scalaire sur ℂⁿ, la méthode de Gram-Schmidt, matrices hermitiennes, unitaires et diagonalisation par Véronique Hussin et Alina Stancu, de l'université de Montréal
• Espaces hermitiens par C. Antonini et al., 2001, sur les-mathematiques.net

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]