Produit tensoriel de deux applications linéaires

On suppose dans cette partie que l'anneau A est commutatif. Avec les notations de l'introduction, l'application

${\displaystyle E_{1}\times E_{2}\to F_{1}\otimes _{A}F_{2},\quad (x,y)\mapsto u(x)\otimes v(y)}$

est A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une unique application linéaire ${\displaystyle \varphi (u,v):E_{1}\otimes _{A}E_{2}\to F_{1}\otimes _{A}F_{2}}$ telle que

${\displaystyle \forall (x,y)\in E_{1}\otimes _{A}E_{2},\varphi (u,v)(x\otimes y)=u(x)\otimes v(y).}$

De plus, l'application ${\displaystyle \varphi }$ de l'espace ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1},F_{1})\times \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{2},F_{2})}$ dans le module ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1}\otimes _{A}E_{2},F_{1}\otimes _{A}F_{2})}$ est bilinéaire ; il existe donc une application linéaire canonique

${\displaystyle \psi$ :\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1},F_{1})\otimes _{A}\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{2},F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1}\otimes _{A}E_{2},F_{1}\otimes _{A}F_{2})}

telle que

${\displaystyle \varphi (u,v)=\psi (u\otimes v)}$ pour toutes applications A-linéaires ${\displaystyle u:E_{1}\to F_{1}}$, ${\displaystyle v:E_{2}\to F_{2}}$.

L'application ${\displaystyle \varphi (u,v)}$ de ${\displaystyle E_{1}\otimes _{A}E_{2}}$ dans ${\displaystyle F_{1}\otimes _{A}F_{2}}$ s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique u⊗v. Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :

• l'élément du produit tensoriel ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1},F_{1})\otimes _{A}\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{2},F_{2})}$ (qui n'est pas une application linéaire),
• son image par ψ dans ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1}\otimes _{A}E_{2},F_{1}\otimes _{A}F_{2})}$ (l'application A-linéaire ${\displaystyle \varphi (u,v)}$).

D'autant plus que ψ n'est pas toujours un isomorphisme, si bien qu'il est impossible d'identifier les deux « u⊗v ».

Néanmoins, lorsque E₁ et E₂ sont des modules libres de rang fini (par exemple des espaces vectoriels de dimension finie), ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre les deux notations u⊗v. En particulier, ψ fournit, sous cette hypothèse, des isomorphismes canoniques de E₁*⊗_AE₂* dans (E₁⊗_AE₂)* et de E₁*⊗_AF₂ dans Hom_A(E₁, F₂).

Démonstration du dernier résultat

Tout A-module libre de rang p est isomorphe (via le choix d'une base) à A^p, et pour tout A-module F, Hom_A(A^p, F) est (canoniquement) isomorphe à A^p⊗_AF. Il suffit donc de vérifier que pour tous entiers m et n, l'application canonique suivante, correspondant à ψ via ces identifications, est un isomorphisme :

${\displaystyle (A^{m}\otimes _{A}F_{1})\otimes _{A}(A^{n}\otimes _{A}F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(A^{m}\otimes _{A}A^{n},F_{1}\otimes _{A}F_{2}).}$

Par associativité et commutativité de ⊗_A et par l'isomorphisme entre A^m⊗_AAⁿ et A^mn, il s'agit simplement d'un troisième cas

${\displaystyle A^{mn}\otimes _{A}(F_{1}\otimes _{A}F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(A^{mn},F_{1}\otimes _{A}F_{2})}$

de l'isomorphisme canonique invoqué au début.

• Si ${\displaystyle E_{1},E_{2},F_{1},F_{2},G_{1},G_{2}}$ sont six modules, et si on se donne des applications linéaires ${\displaystyle u_{i}:E_{i}\to F_{i}}$, ${\displaystyle v_{i}:F_{i}\to G_{i}}$, alors${\displaystyle (v_{1}\circ u_{1})\otimes (v_{2}\circ u_{2})=(v_{1}\otimes v_{2})\circ (u_{1}\otimes u_{2}).}$
• Si ${\displaystyle u_{i}}$ est un isomorphisme de ${\displaystyle E_{i}}$ sur ${\displaystyle F_{i}}$ et ${\displaystyle v_{i}}$ est l'isomorphisme réciproque, alors${\displaystyle u_{1}\otimes u_{2}}$ est inversible et son inverse est ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$.