Sous-espace supplémentaire

La notion de supplémentaire est souvent confondue avec la notion ensembliste de complémentaire qui est très différente. Les différences entre les deux notions sont nombreuses. Tout d'abord, il y a unicité du complémentaire, alors que pour un sous-espace donné, il existe généralement une infinité de supplémentaires différents. Ensuite, l'intersection d'un sous-espace avec un supplémentaire n'est pas vide mais contient le vecteur nul (et uniquement celui-là). Par ailleurs, le complémentaire d'un sous-espace vectoriel n'est jamais un sous-espace vectoriel. Enfin, la réunion d'un sous-espace et d'un supplémentaire n'est pas égale à tout l'espace, plus subtilement, elle engendre cet espace. De façon intuitive, deux sous-espaces supplémentaires contiennent exactement l'information dont on a besoin pour reconstituer l'espace entier.

Dans toute la suite de l'article, ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle G}$ sont deux sous-espaces vectoriels d'un même espace ${\displaystyle E}$.

Définition — ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle G}$ sont supplémentaires (dans ${\displaystyle E}$ ), ce que l'on note ${\displaystyle F\oplus G=E}$, si tout vecteur de ${\displaystyle E}$ s'écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de ${\displaystyle F}$ et d'un vecteur de ${\displaystyle G}$ :${\displaystyle \forall x\in E,\quad \exists$ !(u,v)\in F\times G,\quad x=u+v.}

En dimension finie, on en déduit d'autres critères, dont le plus utile est le suivant :

Si E est de dimension finie alors F et G sont supplémentaires si et seulement si F ∩ G = { 0 } et dim(F) + dim(G) = dim(E).

Le critère 2 prouve le cas particulier suivant de la formule de Grassmann (en dimension finie ou infinie) :

si F et G sont supplémentaires dans E, alors dim(F) + dim(G) = dim(E).

Le critère 6 fournit un procédé simple pour construire deux sous-espaces supplémentaires : couper une base de E en deux parties complémentaires et prendre les sous-espaces engendrés par ces deux parties. En matière de base, on réduit ainsi la notion de supplémentaire à celle de complémentaire. Si on part d'une base de F et qu'on utilise le théorème de la base incomplète pour construire une base de E, les vecteurs qu'on a, ce faisant, ajoutés à la base de F engendrent un supplémentaire de F. Ainsi,

tout sous-espace F de E possède des supplémentaires[1].

Le critère 7 prouve que tout supplémentaire de F dans E est isomorphe à E/F. Ainsi,

tous les supplémentaires de F dans E sont isomorphes.

Ils ont donc la même dimension, finie ou infinie. Cette dimension commune est appelée la codimension de F dans E.

Dans un espace vectoriel normé[2] ou plus généralement dans un espace vectoriel topologique[3] E, deux supplémentaires algébriques F et G sont dits supplémentaires topologiques si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

• la bijection linéaire continue + : F×G → E est un homéomorphisme ;
• F et G sont fermés et la restriction à F de la projection de E sur E/G est un homéomorphisme ;
• F et G sont fermés et le projecteur d'image F et de noyau G est continu.

Si E est un espace de Banach[4], il suffit pour cela que les supplémentaires algébriques F et G soient fermés[2] - [5].

Dans un espace vectoriel normé, tout sous-espace de dimension finie[6] et tout sous-espace fermé de codimension finie admet un supplémentaire topologique[5].

Le problème de déterminer, parmi les sous-espaces fermés de tel ou tel espace de Banach E, lesquels possèdent un supplémentaire topologique, a été très étudié[7] - [8]. Ils en possèdent tous si et seulement si[9] E est topologiquement isomorphe à un espace de Hilbert. Il est isométriquement isomorphe à un Hilbert si[10] (et seulement si) tout sous-espace fermé est l'image d'un projecteur de norme 1.

Supplémentaire orthogonal