Endomorphisme linéaire

Les endomorphismes vérifient les propriétés générales à toutes les applications linéaires ; par exemple : l'ensemble L(E, F) des applications linéaires d'un K-espace vectoriel dans un autre est un K-espace vectoriel muni de la loi d'addition des fonctions et de la multiplication externe par un scalaire de K, et donc, en particulier (puisque L(E) = L(E, E)), (L(E), +, ∙) est un K-espace vectoriel. Lorsqu'on ajoute la loi de composition des applications, L(E) est une algèbre non commutative.

Signalons la formule du binôme qui est vérifiée lorsque deux endomorphismes f et g de E commutent : ${\displaystyle (f+g)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}f^{k}\circ g^{n-k}}.}$

Lorsque l'espace vectoriel est de dimension finie, l'étude d'un endomorphisme se ramène immédiatement à celle de sa matrice par rapport à une base donnée. La matrice obtenue est une matrice carrée. Souvent, la même base de E est considérée au départ et à l'arrivée.