Matrice transposée

On suppose ici que K est un anneau commutatif. On note ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ deux matrices quelconques de ${\displaystyle \mathrm {M} _{m,n}(K)}$ et ${\displaystyle \alpha \in K}$ un scalaire.

• L'application « transposition » est linéaire :

  ${\displaystyle (A+B)^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {T}}+B^{\mathsf {T}},\qquad (\alpha A)^{\mathsf {T}}=\alpha A^{\mathsf {T}}}$.

• La transposée de ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ est ${\displaystyle A}$. Par conséquent, l'application « transposition » ${\displaystyle ^{\mathsf {T}}:\mathrm {M} _{m,n}(K)\to \mathrm {M} _{n,m}(K)}$ est bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. En particulier — pour les matrices carrées — c'est une involution de ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(K)}$ ; c'est donc la symétrie par rapport au sous-espace des matrices symétriques, parallèlement à celui des matrices antisymétriques.
• La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :

  ${\displaystyle (AB)^{\mathsf {T}}=B^{\mathsf {T}}\,A^{\mathsf {T}}}$.

En particulier, l'application « transposition » est donc un antiautomorphisme de l'algèbre ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(K)}$.

• Si une matrice carrée ${\displaystyle A}$ est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de ${\displaystyle A}$ est égale à l'inverse de sa transposée :

  ${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}=\left(A^{\mathsf {T}}\right)^{-1}}$.

• Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même trace). En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.
• Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal. Mieux : sur un corps, elles sont semblables[2]. Cela peut se montrer en remarquant qu'elles ont les mêmes invariants de similitude, ou bien en utilisant la réduction de Jordan, et en remarquant que ${\displaystyle SJS^{-1}=J^{\mathsf {T}}}$, où J est un bloc de Jordan et S une matrice de permutation antidiagonale (en).

Si ${\displaystyle K}$ est un anneau non commutatif, on considère la transposée ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ d'une matrice ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle \mathrm {M} _{m,n}(K)}$ plutôt comme un élément de ${\displaystyle \mathrm {M} _{n,m}(K^{op})}$, où ${\displaystyle K^{op}}$ est l'anneau opposé de ${\displaystyle K}$, de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,

${\displaystyle (AB)^{\mathsf {T}}=B^{\mathsf {T}}\cdot A^{\mathsf {T}}}$.

Complément

Vérifions qu'on peut identifier l'anneau ${\displaystyle \mathrm {M} _{1,1}(K)}$ avec l'anneau ${\displaystyle K}$, la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant l'ensemble ${\displaystyle \mathrm {M} _{1,1}(K)}$ avec l'ensemble ${\displaystyle K}$, les matrices ${\displaystyle A,B\in \mathrm {M} _{1,1}(K)}$ s'identifient à leurs éléments respectifs ${\displaystyle a,b\in K}$. L'application ${\displaystyle a\mapsto A}$ de ${\displaystyle K}$ dans ${\displaystyle \mathrm {M} _{1,1}(K)}$ est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de l'anneau ${\displaystyle \mathrm {M} _{1,1}(K)}$ avec l'anneau ${\displaystyle K}$ ; en particulier, ${\displaystyle AB}$ s'identifie à ${\displaystyle ab}$. Il reste à montrer que la transposition est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées ${\displaystyle A^{\mathsf {T}},B^{\mathsf {T}}\in \mathrm {M} _{1,1}(K)}$ à ${\displaystyle a,b\in K}$ respectivement, on a dans ${\displaystyle \mathrm {M} _{1,1}(K)}$, d'après ce qui précède, ${\displaystyle (AB)^{\mathsf {T}}=B^{\mathsf {T}}\cdot A^{\mathsf {T}}=B\cdot A}$ où ${\displaystyle B\cdot A}$ est le produit de ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ dans ${\displaystyle K^{op}}$, à savoir ${\displaystyle b\cdot a=ab}$. Par conséquent, ${\displaystyle (AB)^{\mathsf {T}}=ab}$, donc ${\displaystyle (AB)^{\mathsf {T}}}$ s'identifie à ${\displaystyle ab}$, ce qui exprime la compatibilité attendue.

• Matrice symétrique et Matrice antisymétrique
• Matrice adjointe