Matrice diagonale

Les matrices suivantes sont diagonales :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\mathrm {i} &0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-3\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}.}$

En revanche les matrices suivantes ne sont pas diagonales :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&\mathrm {i} &0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&-3\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Comme une matrice diagonale est entièrement déterminée par la liste de ses éléments diagonaux, la notation suivante plus concise est souvent adoptée :

${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

• Si ${\displaystyle M}$ est une matrice ${\displaystyle n\times m}$ alors :
  • ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})M}$ se déduit de ${\displaystyle M}$ en multipliant, pour tout ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle n}$, la ${\displaystyle i}$-ème ligne de ${\displaystyle M}$ par ${\displaystyle a_{i}}$ ;
  • ${\displaystyle M\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{m})}$ se déduit de ${\displaystyle M}$ en multipliant, pour tout ${\displaystyle j}$ de ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle m}$, la ${\displaystyle j}$-ème colonne de ${\displaystyle M}$ par ${\displaystyle b_{j}}$.
• En particulier, ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\dots ,a_{n}b_{n})}$

  donc ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}\quad \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})^{k}=\operatorname {diag} (a_{1}^{k},\dots ,a_{n}^{k})}$.

• Pour tout anneau commutatif A, les matrices diagonales d'ordre n forment une sous-algèbre commutative de ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(A)}$

  En d'autres termes, pour toutes matrices diagonales ${\displaystyle D=\operatorname {diag} ((d_{i})_{1\leq i\leq n})}$ et ${\displaystyle E=\operatorname {diag} ((e_{i})_{1\leq i\leq n})}$ on a :

  • ${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in A^{2}\quad \lambda D+\mu E=\operatorname {diag} ((\lambda d_{i}+\mu e_{i})_{1\leq i\leq n})}$
  • ${\displaystyle DE=ED=\operatorname {diag} ((d_{i}e_{i})_{1\leq i\leq n})}$

Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit de ses éléments diagonaux :

${\displaystyle \det(\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}))={\begin{vmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&a_{n}\end{vmatrix}}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}}$

D'après l'expression des produits d'une matrice diagonale par une matrice quelconque (voir supra), une matrice diagonale ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ à coefficients dans un anneau unitaire A (non nécessairement commutatif) est inversible dans ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(A)}$ si et seulement si tous les ${\displaystyle a_{i}}$ sont inversibles dans A (c'est-à-dire non nuls, si A est un corps) et dans ce cas,

${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (1/a_{1},1/a_{2},\dots ,1/a_{n})}$.

Ceci permet, pour une matrice diagonale inversible, d'étendre aux exposants entiers relatifs la règle de calcul des puissances vue précédemment.