Hypergraphe

Un hypergraphe ${\displaystyle H}$ est un couple ${\displaystyle (V,E)}$ où ${\displaystyle V=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}}$ est un ensemble non vide (généralement fini) et ${\displaystyle E=E_{1},E_{2},...,E_{m}}$ est une famille de parties non vides de ${\displaystyle V}$.

À l'instar des graphes, on dit que :

• Les éléments de ${\displaystyle V}$ sont les sommets de ${\displaystyle H}$.
• Le nombre de sommets ${\displaystyle n}$ est l'ordre de l'hypergraphe.
• Les éléments de ${\displaystyle E}$ sont les arêtes de ${\displaystyle H}$.

Les hypergraphes correspondent précisément aux matrices à coefficients 0 ou 1 (dont chaque colonne a au moins un 1). En effet, tout hypergraphe ${\displaystyle H}$ correspond de manière univoque à la matrice ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n,m}\,}$ telle que :

${\displaystyle \forall a_{i,j}\in {\mathcal {A}},\quad a_{i,j}={\begin{cases}1&{\text{si}}~v_{i}\in E_{j}\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

Parmi les propriétés « nouvelles » des hypergraphes par rapport aux graphes figurent deux notions associées.

• On appelle rang d'un hypergraphe le nombre maximum de sommets d'une arête : ${\displaystyle \operatorname {rang} (H)=\max _{i\in \{1,\ldots ,m\}}|E_{i}|}$Le rang d'un hypergraphe est majoré par son ordre. Si ${\displaystyle \mathrm {rang} (H)=2}$, alors ${\displaystyle H}$ est un graphe.
• On appelle anti-rang d'un hypergraphe le nombre minimum de sommets d'une arête : ${\displaystyle \operatorname {anti-rang} (H)=\min _{i\in \{1,\ldots ,m\}}|E_{i}|}$

Par définition d'un hypergraphe, les arêtes sont des parties non vides de l'ensemble des sommets de l'hypergraphe. L'anti-rang d'un hypergraphe est donc non nul.

Un hypergraphe est dit uniforme lorsque son rang et son anti-rang sont égaux.

On parle aussi d' hypergraphe r-uniforme pour désigner un hypergraphe uniforme de rang ${\displaystyle r}$.

L'hypergraphe du plan de Fano.

L'hypergraphe du plan de Fano a sept sommets appelés points {0,1,2,3,4,5,6} et sept arêtes appelées droites (013, 045, 026, 124, 346, 325, 516). L'ordre (nombre de sommets) est 7.

Le rang et l'anti-rang sont égaux à 3 (nombre de sommets d'une arête). Par conséquent, l'hypergraphe du plan de Fano est un hypergraphe 3-uniforme.

À l'instar des graphes, on dit que :

• Un hypergraphe partiel ${\displaystyle H_{p}=(V,E_{p})}$ d'un hypergraphe ${\displaystyle H=(V,E)}$ est tel que : ${\displaystyle E_{p}\subset E}$.
• Un sous-hypergraphe ${\displaystyle H'=(V',E')}$ d'un hypergraphe ${\displaystyle H=(V,E)}$ est tel que :
  • ${\displaystyle V'\subseteq V}$ et
  • ${\displaystyle \forall E_{i}\in E',\quad E_{i}\subseteq V'\land E_{i}\in E}$.

Ces notions généralisent à la théorie des hypergraphes les notions de graphe partiel et de sous-graphe.

À l'instar des graphes (non orientés), on dit qu'un hypergraphe est simple s'il n'a pas d'arête multiple (cf. article graphe simple).

On appelle famille de Sperner (ou clutter en anglais) un hypergraphe simple dont aucune arête n'est contenue dans une autre.

Soit ${\displaystyle V^{*}=\{V_{j}\mid j=1,2,\ldots ,|V|\}}$ tel que ${\displaystyle V_{j}=\{E_{i}\mid (E_{i}\in E)\wedge (v_{j}\in E_{i})\}}$.

Alors l'hypergraphe défini par ${\displaystyle H^{*}=(E,V^{*})}$ est appelé hypergraphe dual de ${\displaystyle H}$. Il correspond à la transposée de la matrice. La notion ne coïncide pas avec celle de graphe dual, même dans le cas où l'hypergraphe s'avère être un graphe.