Espace vectoriel symplectique

Soit ${\displaystyle V}$ un espace vectoriel sur le corps des réels (le cas général sera présenté ci-dessous). Une forme symplectique sur ${\displaystyle V}$ est une forme bilinéaire alternée et non dégénérée ${\displaystyle \omega :V\times V\to \mathbb {R} }$, i.e. :

• on a le caractère alterné ${\displaystyle \omega (u,u)=0,\quad \forall u\in V}$

qui est parfois remplacé par l'antisymétrie: ${\displaystyle \omega (u,v)=-\omega (v,u),\quad \forall u,v\in V}$ (ces deux propriétés sont équivalentes) ;

• et la non-dégénérescence: ${\displaystyle u\neq 0\implies \omega (u,\cdot )\neq 0}$.

Un espace vectoriel symplectique ${\displaystyle (V,\omega )}$ est un espace vectoriel ${\displaystyle V}$ muni d'une forme symplectique ${\displaystyle \omega }$.

Deux vecteurs ${\displaystyle u,v\in V}$ sont dits (symplectiquement) orthogonaux lorsque ${\displaystyle \omega (u,v)=0}$. Par caractère alterné de ${\displaystyle \omega }$, tout vecteur ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle V}$ est orthogonal à lui-même.

Proposition : Tout espace vectoriel symplectique de dimension finie est de dimension réelle paire.

L'espace vectoriel symplectique de référence est l'espace ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega )}$ où, en base canonique ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n},f_{1},\ldots ,f_{n})}$, la forme symplectique ${\displaystyle \omega }$ vérifie les relations

${\displaystyle \omega (e_{i},f_{j})=-\omega (f_{j},e_{i})=\delta _{ij}\,}$

${\displaystyle \omega (e_{i},e_{j})=\omega (f_{i},f_{j})=0\,}$.

La représentation matricielle de la forme symplectique standard est alors :

${\displaystyle [\omega _{i,j}]={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

où ${\displaystyle I_{n}}$ désigne la matrice identité de taille ${\displaystyle n\times n}$.

Il y a en quelque sorte des directions couplées : chaque ${\displaystyle e_{i}}$ est orthogonal à tous les vecteurs de base sauf ${\displaystyle f_{i}}$.

Une variante du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de montrer que tout espace vectoriel symplectique de dimension finie possède une telle base, à laquelle on donne en général le nom de base de Darboux.

Soit ${\displaystyle (V,\omega )}$ un espace vectoriel symplectique. Soit ${\displaystyle W\subset V}$ un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle V}$. Le perpendiculaire (symplectique) de ${\displaystyle W}$ est par définition le sous-espace vectoriel

${\displaystyle W^{\omega }:=\{v\in V|\omega (v,w)=0,\forall w\in W\}}$.

Le sous-espace vectoriel ${\displaystyle W}$ est dit :

• symplectique si ${\displaystyle W\cap W^{\omega }=\{0\}}$
• isotrope si ${\displaystyle W\subset W^{\omega }}$
• coïsotrope si ${\displaystyle W^{\omega }\subset W}$
• lagrangien si ${\displaystyle W^{\omega }=W}$

Tout sous-espace vectoriel lagrangien ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle (V,\omega )}$ est :

• (maximal) isotrope
• (minimal) coïsotrope
• de dimension la moitié celle de ${\displaystyle V}$.

La définition des espaces symplectiques s'étend sans changement à tout corps de caractéristique différente de 2. En caractéristique 2, il n'y a plus équivalence entre les caractères alterné et antisymétrique.

• Ralph Abraham et Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London (ISBN 0-8053-0102-X).