Matrice symplectique

En mathématique, une matrice symplectique est une matrice M de taille 2n par 2n (dont les entrées sont typiquement soit des réels soit des complexes) satisfaisant la condition

${\displaystyle M^{T}JM=J}$

où M^T désigne la matrice transposée de M et J est la matrice par blocs antisymétrique définie par :

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$

(I_n étant la matrice identité n×n). On remarque que le déterminant de J vaut 1 et qu'on a l'identité J² = −I_2n.

Toute matrice symplectique est inversible et son inverse est donnée par :

${\displaystyle M^{-1}=-JM^{T}J}$.

De plus, le produit de deux matrices symplectiques est, à nouveau, une matrice symplectique. Ceci donne à l'ensemble de toutes les matrices symplectiques la structure d'un groupe. Il existe une structure de variété naturelle sur ce groupe qui en fait un groupe de Lie (réel ou complexe) appelé le groupe symplectique. Le groupe symplectique a pour dimension n(2n + 1).

Il suit facilement de la définition que le déterminant de toute matrice symplectique est ±1. En fait, il apparaît que le déterminant est toujours +1. Une manière de voir ceci est au travers de l'utilisation du Pfaffien et de l'identité

${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{T}JM)=\det(M){\mbox{Pf}}(J).}$

Puisque ${\displaystyle M^{T}JM=J}$ et ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(J)\neq 0}$, nous avons det(M) = 1.

Soit M une matrice par blocs 2n×2n définie comme

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

où A, B, C, D sont des matrices n×n. Alors la condition pour que M soit symplectique est équivalente aux conditions

${\displaystyle A^{T}D-C^{T}B=1}$

${\displaystyle A^{T}C=C^{T}A}$

${\displaystyle D^{T}B=B^{T}D.}$

Quand n = 1 ces conditions se réduisent à la seule condition det(M) = 1. Donc une matrice 2×2 est symplectique si et seulement si son déterminant est égal à 1.

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