Forme symplectique

En algèbre linéaire, une forme symplectique sur un espace vectoriel ${\displaystyle V}$ est une forme bilinéaire non dégénérée alternée ${\displaystyle \omega :V\times V\to \mathbb {R} }$. Un espace vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé espace vectoriel symplectique.

Exemples :

• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega )}$ où ${\displaystyle \omega =\sum _{k=1}^{n}e_{k}^{*}\wedge f_{k}^{*}}$, pour ${\displaystyle (e_{k}^{*},f_{k}^{*})_{k=1,...,n}}$ la base duale canonique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, est un espace vectoriel symplectique.
• Si ${\displaystyle W}$ est un espace vectoriel réel et ${\displaystyle V:=W\oplus W^{*}}$ alors ${\displaystyle (V,\omega )}$ est un espace vectoriel symplectique pour ${\displaystyle \omega ((w_{1}\oplus \alpha _{1}),(w_{2}\oplus \alpha _{2})):=\alpha _{1}(w_{2})-\alpha _{2}(w_{1})}$ où ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W}$ et ${\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{2}\in W^{*}}$

En géométrie différentielle, une forme symplectique sur un fibré vectoriel réel ${\displaystyle E\to M}$ est une section globale lisse ${\displaystyle \omega }$ du fibré ${\displaystyle E^{*}\wedge E^{*}\to M}$ qui est non dégénérée fibre par fibre. Un fibré vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé fibré vectoriel symplectique.

Remarques :

• Une forme symplectique de fibré symplectique est une famille lisse ${\displaystyle \{\omega _{x}\}_{x\in M}}$ de formes symplectiques d'espaces vectoriels dont les espaces vectoriels en question sont les fibres ${\displaystyle E_{x}}$ du fibré ${\displaystyle E\to M}$.

Exemples :

• Si ${\displaystyle F\rightarrow M}$ est un fibré vectoriel réel et ${\displaystyle E:=F\oplus F^{*}}$ alors ${\displaystyle (E,\omega )}$, où

${\displaystyle \omega _{x}((w_{1}\oplus \alpha _{1}),(w_{2}\oplus \alpha _{2})):=\alpha _{1}(w_{2})-\alpha _{2}(w_{1}),\quad \forall x\in M,\;\forall w_{1},w_{2}\in F_{x},\;\forall \alpha _{2},\alpha _{2}\in F_{x}^{*}}$,

est un fibré vectoriel symplectique sur ${\displaystyle M}$.

Ce dernier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

Toujours en géométrie différentielle, une forme symplectique sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$ est une 2-forme différentielle ${\displaystyle \omega }$ qui est :

1. fermée (au sens de la différentielle extérieure), i.e. ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$ ;
2. non dégénérée (fibre par fibre), i.e. pour tout ${\displaystyle v\in TM}$ non nul, ${\displaystyle \omega (v,\cdot )}$ est non nul.

Une variété différentielle munie d'une forme symplectique est nommé variété symplectique.

Remarques :

• La forme symplectique ${\displaystyle \omega }$ d'une variété symplectique ${\displaystyle (M,\omega )}$ est aussi une forme symplectique de fibré vectoriel dont le fibré en question est le fibré tangent ${\displaystyle TM}$ de la variété différentielle ${\displaystyle M}$. Toutefois, ici, on ajoute la condition de fermeture ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$. Lorsque ${\displaystyle \omega }$ est une forme symplectique pour le fibré ${\displaystyle TM}$ mais qu'elle ne vérifie pas forcément la condition de fermeture ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$, la paire ${\displaystyle (M,\omega )}$ est dit être une variété presque-symplectique.
• La condition d'être fermée d'une forme symplectique ${\displaystyle \omega }$ d'une variété symplectique ${\displaystyle (M,\omega )}$ implique, par le théorème de Darboux, qu'autour de tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle M}$ il existe un système de coordonnées locales ${\displaystyle (p_{k},q_{k})_{k=1,...,\dim M}}$ tel que ${\displaystyle \omega }$ s'y écrive de manière canonique ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\dim M}\mathrm {d} p_{k}\wedge \mathrm {d} q_{k}}$.
• L'existence des formes symplectiques sur les variétés différentielles est une question ouverte.

Exemples :

• Si ${\displaystyle (M,\omega )}$ est une variété symplectique de dimension ${\displaystyle 2n}$, et que ${\displaystyle P}$ est une sous-variété différentielle de ${\displaystyle M}$, alors :
  • Le fibré tangent de ${\displaystyle M}$ se restreint en un fibré de rang ${\displaystyle 2n}$ sur ${\displaystyle P}$, noté ${\displaystyle T_{P}M\rightarrow P}$. Et ${\displaystyle (T_{P}M,\omega |_{T_{P}M})}$ est un fibré symplectique sur ${\displaystyle P}$.
  • Si en tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle P}$, la forme bilineaire ${\displaystyle \omega _{x}}$ est non dégénérée en restriction à l'espace tangent ${\displaystyle T_{x}P}$, alors ${\displaystyle (P,\omega |_{T_{P}P})}$ est une variété symplectique.

• Forme de Liouville