Forme de Liouville

Si M est une variété différentielle de dimension n, ${\displaystyle T^{*}M}$ désigne l'espace total du fibré cotangent de M et peut être regardé comme une variété différentielle de dimension 2n. La projection naturelle ${\displaystyle \pi :T^{*}M\rightarrow M}$ permet de définir la forme de Liouville :

${\displaystyle \lambda (p)=p\circ d\pi }$.

où p est un élément de ${\displaystyle T^{*}M}$, c'est-à-dire un élément de la fibre de ${\displaystyle T^{*}M}$ issue du projeté ${\displaystyle q=\pi (p)}$, élément de M. p induit donc une forme linéaire sur l'espace tangent en q à la variété M. ${\displaystyle d\pi }$ est la différentielle de la projection canonique ${\displaystyle \pi }$. Cette différentielle transforme tout vecteur tangent en p à ${\displaystyle T^{*}M}$ en un vecteur tangent en q à la variété M. On applique alors sur ce dernier vecteur précisément la forme linéaire induite par p. Pour tout p, ${\displaystyle \lambda (p)}$ est donc une forme linéaire définie sur l'espace tangent en p à ${\displaystyle T^{*}M}$, et ${\displaystyle \lambda }$ est donc une forme différentielle définie sur ${\displaystyle T^{*}M}$.

Une 1-forme différentielle ${\displaystyle \alpha }$ sur M est une section de ${\displaystyle \pi }$ et donc une application différentiable ${\displaystyle \alpha :M\rightarrow T^{*}M}$. Le tiré en arrière de ${\displaystyle \lambda }$ par l'application ${\displaystyle \alpha }$ est la forme ${\displaystyle \alpha }$ :

${\displaystyle \alpha ^{*}\lambda =\alpha }$.

Cette dernière propriété caractérise ${\displaystyle \lambda }$ de façon unique.

Si q est une carte locale de M définie sur un ouvert U et (p,q) les coordonnées correspondantes définies sur ${\displaystyle T^{*}U}$, alors, la projection canonique ${\displaystyle \pi }$ est l'application qui, à (p,q) associe q. p désigne ici la forme linéaire qui s'applique sur l'espace tangent en q à M. La différentielle de ${\displaystyle \pi }$ n'est autre que dq, et ${\displaystyle \lambda }$ s'exprime dans ces coordonnées sous la forme :

${\displaystyle \lambda =p.dq=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq_{i}}$.

La différentielle de ${\displaystyle \lambda }$ est :

${\displaystyle \omega =\pm d\lambda =\pm dp\wedge dq=\pm \sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}$.

Le signe dépend des auteurs. Toutefois, l'expression locale montre que ${\displaystyle \omega }$ est une forme symplectique sur ${\displaystyle T^{*}M}$.