Dérivée extérieure

Pour une 1-forme sur ℝ²,

${\displaystyle \omega =P{\rm {d}}x+Q{\rm {d}}y,}$

on a :

${\displaystyle {\rm {d}}\omega ={\rm {d}}P\land {\rm {d}}x+{\rm {d}}Q\land {\rm {d}}y=\left({\frac {\partial P}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial P}{\partial y}}{\rm {d}}y\right)\land {\rm {d}}x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\rm {d}}y\right)\land {\rm {d}}y=\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right){\rm {d}}x\wedge {\rm {d}}y,}$

ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.

Pour une 0-forme sur ℝⁿ, c'est-à-dire une fonction lisse ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, on a

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}.}$

Alors

${\displaystyle df(V)=\langle \mathrm {grad} \ f,V\rangle ,}$

où ${\displaystyle \mathrm {grad} \ f}$ dénote le gradient de f et ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ est le produit scalaire.

Pour une 1-forme ${\displaystyle \omega =\omega _{x}dx+\omega _{y}dy+\omega _{z}dz}$ sur ℝ³ (que l'on peut identifier à un champ de vecteurs),

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial \omega _{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \omega _{x}}{\partial y}}\right)dx\wedge dy+\left({\frac {\partial \omega _{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \omega _{y}}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial \omega _{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \omega _{z}}{\partial x}}\right)dz\wedge dx.}$

Grâce au produit vectoriel sur ℝ³, on peut identifier la 2-forme dω à un champ de vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {\text{rot}}}\;\omega }$, appelé rotationnel de ω et défini comme suit (voir dualité de Hodge)

${\displaystyle d\omega ({\vec {a}},{\vec {b}})={\displaystyle \langle {\overrightarrow {\text{rot}}}\;\omega ,{\vec {a}}\wedge {\vec {b}}\rangle }}$

où ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ est le produit scalaire et ${\displaystyle {\vec {a}}\wedge {\vec {b}}}$ est le produit vectoriel. On retrouve ainsi la définition usuelle du rotationnel

${\displaystyle {\overrightarrow {\text{rot}}}\;\omega =\left({\frac {\partial \omega _{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \omega _{x}}{\partial y}}\right){\vec {e_{z}}}+\left({\frac {\partial \omega _{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \omega _{y}}{\partial z}}\right){\vec {e_{x}}}+\left({\frac {\partial \omega _{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \omega _{z}}{\partial x}}\right){\vec {e_{y}}}.}$

Le fait que le rotationnel ainsi défini (comme le dual de Hodge de la dérivée extérieure du champ de vecteurs identifié à une 1-forme) s'identifie à un vecteur est propre à la dimension 3. De façon générale, ce n'est pas le cas, en particulier en dimension 4, le "rotationnel" ainsi défini est un objet (une 2-forme) de dimension 6, que l'on ne peut donc pas identifier à un vecteur (de dimension 4). Il n'y a pas de généralisation du rotationnel en dimension autre que 3.

Pour une 2-forme ${\displaystyle \omega =\sum _{i,j}h_{i,j}\,dx_{i}\wedge \,dx_{j},}$ on a :

${\displaystyle d\omega =\sum _{i,j,k}{\frac {\partial h_{i,j}}{\partial x_{k}}}dx_{k}\wedge dx_{i}\wedge dx_{j}.}$

En trois dimensions, avec ${\displaystyle \omega =p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy}$ on obtient :

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz={\mbox{div}}Vdx\wedge dy\wedge dz,}$

où V est un champ vectoriel defini par ${\displaystyle V=[p,q,r].}$

De façon générale (en dimension n quelconque), on peut définir un analogue de la divergence d'un champ de vecteurs ${\displaystyle {\vec {V}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ en identifiant ce champ à une (n-1)-forme ${\displaystyle \omega }$ dont on prend le dual de Hodge de la dérivée extérieure. On a alors:

${\displaystyle \mathrm {d} \omega =\mathrm {div} {\vec {V}}\ \mathrm {vol} }$

soit encore ${\displaystyle \mathrm {div} {\vec {V}}=\langle \mathrm {d} \omega ,\mathrm {vol} \rangle }$, où ${\displaystyle \mathrm {vol} =\mathrm {d} x_{1}\wedge \dots \wedge \mathrm {d} x_{n}}$ désigne la forme volume canonique.

À l'aide des redéfinitions ci-dessus, les formules suivantes sont une simple conséquence de ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ :

• ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {grad} }})={\vec {0}}}$

• ${\displaystyle \mathrm {div} ({\overrightarrow {\mathrm {rot} }})=0}$

En notant ${\displaystyle \Omega _{k}(\mathbb {R} ^{3})}$ l'espace des k-formes sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, on peut se représenter la chaîne:

${\displaystyle \Omega _{0}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{1}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{2}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{3}(\mathbb {R} ^{3})}$

La première flèche correspond au gradient, la seconde au rotationnel, la troisième à la divergence:

${\displaystyle \Omega _{0}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {grad} }{\longrightarrow }}\Omega _{1}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {rot} }{\longrightarrow }}\Omega _{2}(\mathbb {R} ^{3}){\overset {\mathrm {div} }{\longrightarrow }}\Omega _{3}(\mathbb {R} ^{3})}$