Dualité de Hodge

Soit E espace vectoriel euclidien orienté de dimension finie n. Les sous-espaces ${\displaystyle \wedge ^{k}E}$ et ${\displaystyle \wedge ^{n-k}E}$ des k-vecteurs et des n-k vecteurs sont de même dimension, à savoir le coefficient binomial ${\displaystyle n \choose k}$. Il est possible de définir un isomorphisme linéaire noté * entre ces deux espaces et appelé opérateur de Hodge.

Pour toute base orthonormale directe ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$,

${\displaystyle *(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \ldots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

Il s'étend ensuite par linéarité à toute l'algèbre extérieure. Cette définition est peu satisfaisante puisqu'elle fait intervenir des bases, même si on peut montrer que la définition ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie. Elle a néanmoins l'avantage de bien décrire le comportement de l'opérateur de Hodge sous forme de complétion de base orthonormale directe.

Une définition plus convenable consiste à faire intervenir la forme volume ω de l'espace vectoriel euclidien orienté E. Le dual de Hodge s'obtient en effectuant la contraction

${\displaystyle \;*\;X=\langle \omega ,X\rangle }$

Pour un k-vecteur ${\displaystyle \eta \in \Lambda ^{k}(E)}$ de l'espace E de dimension n, appliquer deux fois l'opérateur de Hodge donne l'identité, au signe près

${\displaystyle **\eta =(-1)^{k(n-k)}\;\eta }$

L'opérateur de Hodge permet de définir un produit scalaire sur l'algèbre extérieure par la relation

${\displaystyle \zeta \wedge *\eta =\langle \zeta |\eta \rangle \;*1=\langle \zeta |\eta \rangle \;{\overline {\omega }}}$

Pour ce produit scalaire, les k-vecteurs obtenus par produit extérieur à partir de la base orthonormale de E constituent une base orthonormale de ΛE.