Théorème de Green

Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux.

Soit C une courbe plane simple, positivement orientée et C¹ par morceaux, D le compact du plan délimité par C et Pdx + Qdy une 1-forme différentielle sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Si P et Q ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant D, alors :

${\displaystyle \int _{C}P\,\mathrm {d} x+Q\,\mathrm {d} y=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y.}$

Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant ∂D la courbe C et ω la forme différentielle. Alors, la dérivée extérieure de ω s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} \omega =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

et le théorème de Green se résume par :

${\displaystyle \oint _{\partial D}\omega =\iint _{D}\mathrm {d} \omega .}$

Le cercle sur l'intégrale précise que le bord ∂D est une courbe fermée (orientée). Changer l'orientation de la courbe change le signe de l'intégrale curviligne. L'orientation du bord ∂D se fait intuitivement de telle façon qu'un point le parcourant doit avoir le domaine D constamment sur sa gauche.

On peut aussi interpréter ${\displaystyle \oint _{\partial D}\omega }$ comme la circulation du champ de vecteurs ${\displaystyle P\,{\vec {\imath }}+Q\,{\vec {\jmath }}}$ défini sur un ouvert du plan contenant D.

Théorème de Green-Riemann dans un cas simplifié.

Montrons que ${\displaystyle \iint _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{\partial D}P\,\mathrm {d} x}$ en supposant que le domaine D peut être décrit par :

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\$ ;\ a\leqslant x\leqslant b\ {\text{ et }}\ f(x)\leqslant y\leqslant g(x)\}}

où f et g sont des fonctions de classe C¹ sur [a, b] qui coïncident en a et b.

Le théorème de Fubini donne :

${\displaystyle \iint _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\left(\int _{f(x)}^{g(x)}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x}$

Or ${\displaystyle \int _{f(x)}^{g(x)}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} y=P(x,f(x))-P(x,g(x))}$, de sorte que :

${\displaystyle \iint _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}P(x,f(x))-P(x,g(x))\,\mathrm {d} x.}$

Or l'arc orienté ${\displaystyle \partial D}$ peut être décomposé en deux sous-arcs :

${\displaystyle t\longmapsto (t,f(t))}$ où t croît de a à b

et ${\displaystyle t\longmapsto (t,g(t))}$ où t décroît de b à a.

L'intégrale curviligne ${\displaystyle \int _{\partial D}P\,\mathrm {d} x}$ est donc :

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(t,f(t))\,\mathrm {d} t+\int _{b}^{a}P(t,g(t))\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}P(t,f(t))-P(t,g(t))\,\mathrm {d} t}$ qui est bien l'expression obtenue ci-dessus.

On montre de même que ${\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{\partial D}Q\,\mathrm {d} y}$ en supposant que le domaine D peut être décrit comme étant :

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\$ ;\ c\leqslant y\leqslant d\ {\text{ et }}\ \phi (y)\leqslant x\leqslant \psi (y)\}}

où ϕ et ψ sont des fonctions de classe C¹ sur [c, d] qui coïncident en c et d :

${\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{c}^{d}\int _{\phi (y)}^{\psi (y)}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{c}^{d}Q(\psi (y),y)-Q(\phi (y),y)\,\mathrm {d} y=\int _{\partial D}Q\,\mathrm {d} y.}$

Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit D un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit C = ∂D sa frontière, orientée positivement par rapport à D. On a :

${\displaystyle {\mathcal {A}}(D)=\iint _{D}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{C}-y\mathrm {d} x=\int _{C}x\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\int _{C}-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y}$

en prenant respectivement ${\displaystyle \left(P(x,y),Q(x,y)\right)}$ égal à ${\displaystyle (-y,0)}$, ou bien ${\displaystyle (0,x)}$, ou enfin ${\displaystyle (-y/2,x/2)}$, chacun de ces trois cas vérifiant ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1.}$

Aire d'une astroïde

On traite ici l'exemple d'une astroïde, dont le bord C est paramétré par :

${\displaystyle t\mapsto (\cos ^{3}t,\sin ^{3}t),}$

t variant de 0 à 2π. En prenant ${\displaystyle P(x,y)\,\mathrm {d} x=-{\frac {y}{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {3}{2}}\sin ^{4}t\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t}$ et ${\displaystyle Q(x,y)\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2}}\,\mathrm {d} y={\frac {3}{2}}\cos ^{4}t\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t}$, on obtient :

${\displaystyle {\mathcal {A}}(D)={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y={\frac {3}{2}}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}t\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t.}$

Après linéarisation, on en déduit que l'aire de l'astroïde est égale à 3π/8.