Inégalité de Poincaré

Soit p, tel que 1 ≤ p < ∞ et Ω un ouvert de largeur finie (borné dans une direction). Alors il existe une constante C, dépendant uniquement de Ω et p, telle que, pour toute fonction u de l'espace de Sobolev W₀^1,p(Ω),

${\displaystyle \|u\|_{\mathrm {L} ^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{\mathrm {L} ^{p}(\Omega )}.}$

Soient p, tel que 1 ≤ p ≤ ∞ et Ω un domaine (en) (c'est-à-dire un ouvert connexe) lipschitzien (c'est-à-dire borné et « à frontière lipschitzienne ») de l'espace euclidien Rⁿ. Alors il existe une constante C, dépendant uniquement de Ω et p, telle que, pour toute fonction u de l'espace de Sobolev W^1,p(Ω),

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{\mathrm {L} ^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{\mathrm {L} ^{p}(\Omega )},}$

où

${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$

est la valeur moyenne de u sur Ω, le nombre |Ω| désignant la mesure de Lebesgue du domaine Ω.

L'inégalité de Poincaré peut se généraliser à d'autres espaces de Sobolev. Par exemple, l'inégalité de Poincaré suivante[2] est associée à l'espace de Sobolev H^1/2(T²), c.-à-d. l'espace des fonctions u de l'espace L² du tore unitaire T² dont la transformée de Fourier la fonction ${\displaystyle {\hat {u}}}$ satisfait

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty }$.

Il existe une constante C telle que, pour toute fonction u ∈ H^1/2(T²) nulle sur un ouvert E de T²,

${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$

où cap(E × {0}) représente la capacité harmonique (en) de E × {0} vu comme sous-ensemble de R³.

La constante optimale C dans l'inégalité de Poincaré est parfois appelée constante de Poincaré du domaine Ω. En général, déterminer la constante de Poincaré est une tâche très difficile qui dépend de la valeur de p et de la géométrie du domaine Ω. Dans certains cas des bornes peuvent être données. Par exemple, si Ω est un domaine lipschitzien convexe de diamètre d, alors la constante de Poincaré vaut au plus d/2 pour p = 1, d/π pour p = 2[3].

Cependant il est possible de déterminer concrètement la constante C pour certains cas particuliers. Par exemple, pour p = 2 :

• en dimension 2, il est bien connu[4] que sur le domaine du triangle isocèle rectangle unitaire, C = 1/π ( < d/π où d = √2) ;
• en dimension 1, l'inégalité de Wirtinger donne, pour un intervalle de longueur d, C = d/(2π) ( < d/π).