Planimètre

Soit (X,Y) les coordonnées du curseur, et (x,y) celle de la lame. Soit ${\displaystyle \theta }$ l'angle que fait le bras du planimètre avec l'axe Ox. On a donc :

${\displaystyle X=x+L\cos(\theta )}$

${\displaystyle Y=y+L\sin(\theta )}$

Soit ${\displaystyle \lambda =\cos(\theta )\mathrm {d} y-\sin(\theta )\mathrm {d} x}$. On vérifiera que :

${\displaystyle {\frac {X\mathrm {d} Y-Y\mathrm {d} X}{2}}={\frac {x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x}{2}}+L\lambda -{\frac {L}{2}}\mathrm {d} (y\cos(\theta )-x\sin(\theta ))+{\frac {L^{2}}{2}}\mathrm {d} \theta }$.

On intègre ces formes différentielles lors du parcours suivi par le planimètre (y compris la rotation finale pour le ramener à sa position initiale). D'après le théorème de Green, l'intégrale de ${\displaystyle {\frac {X\mathrm {d} Y-Y\mathrm {d} X}{2}}}$ est l'aire A cherchée. L'intégrale de ${\displaystyle {\frac {x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x}{2}}}$ est l'aire du domaine limité par la courbe parcourue par la lame. Elle va donner l'erreur systématique E. L'intégrale de ${\displaystyle \mathrm {d} (y\cos(\theta )-x\sin(\theta ))}$ est nulle car on intègre alors une différentielle exacte sur un parcours fermé. Il en est de même de l'intégrale de ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ à condition que le planimètre n'ait pas fait de tour complet sur lui-même entre sa position initiale et finale. On obtient donc la relation :

${\displaystyle A=E+\int L\lambda }$

Tant qu'on est dans la phase de parcours du curseur, ${\displaystyle \lambda }$ est nul car la lame se déplace parallèlement à la tige. Seule la rotation finale apporte une contribution non nulle à cette intégrale, mais alors ${\displaystyle \lambda =L\mathrm {d} \theta }$, de sorte qu'on obtient la relation annoncée :

${\displaystyle A=L^{2}\Delta \theta +E}$